Questão 152 do ENEM 2021 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos decodificar a mensagem do navio seguindo as regras das operações matemáticas inventadas pelo problema: o triângulo ($\Delta$) e a estrela ($*$). O nosso objetivo é encontrar as soluções da equação dada, identificar as duas maiores e somá-las.

Entendendo as Operações

O problema define duas operações para números reais:

1. $x \Delta y = x^2 + xy - y^2$
2. $x * y = xy + x$

A equação que precisamos resolver é: $(a \Delta b) * (b \Delta a) = 0$

Sabemos que o valor de entrada é $b = 1$. Substituindo esse valor na equação, temos: $(a \Delta 1) * (1 \Delta a) = 0$

Calculando os Termos

Vamos resolver os parênteses separadamente usando a regra do triângulo ($\Delta$).

Para o primeiro termo, $(a \Delta 1)$, substituímos $x = a$ e $y = 1$: $a \Delta 1 = a^2 + a \cdot 1 - 1^2 = a^2 + a - 1$

Para o segundo termo, $(1 \Delta a)$, substituímos $x = 1$ e $y = a$: $1 \Delta a = 1^2 + 1 \cdot a - a^2 = 1 + a - a^2$

Montando e Simplificando a Equação

Agora, aplicamos a regra da estrela ($*$) entre os dois resultados que encontramos. Para facilitar a visualização, vamos chamar o primeiro termo de $X$ e o segundo de $Y$. A equação fica: $X * Y = 0$

Pela definição da operação estrela, temos $X * Y = X \cdot Y + X$. Podemos colocar o $X$ em evidência, o que simplifica muito a nossa vida e evita que caiamos em uma equação de grau elevado: $X \cdot (Y + 1) = 0$

Para que o produto de dois fatores seja zero, pelo menos um deles deve ser igual a zero. Ou seja, temos dois caminhos possíveis:

1. $X = 0$
2. $Y + 1 = 0$

Vamos analisar cada um deles.

Primeiro Caminho: $X = 0$

Substituindo $X$ pelo valor que calculamos: $a^2 + a - 1 = 0$

Aplicando a fórmula de Bhaskara: $\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$ $a = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Isso nos dá duas raízes: $a_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ $a_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$

Segundo Caminho: $Y + 1 = 0$

Substituindo $Y$ pelo valor que calculamos: $(1 + a - a^2) + 1 = 0$ $-a^2 + a + 2 = 0$

Multiplicando por $-1$ para facilitar: $a^2 - a - 2 = 0$

Podemos resolver por soma e produto. Procuramos dois números que somados dão $1$ e multiplicados dão $-2$. Esses números são: $a_3 = 2$ $a_4 = -1$

Encontrando a Resposta Final

Temos quatro soluções para a equação: $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$, $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$, $2$ e $-1$. O problema pede a soma das duas maiores soluções.

Para comparar, lembre-se de que $\sqrt{5}$ é aproximadamente $2,23$.

• $a_1 \approx \frac{-1 + 2,23}{2} = 0,615$
• $a_2 \approx \frac{-1 - 2,23}{2} = -1,615$
• $a_3 = 2$
• $a_4 = -1$

As duas maiores soluções são $2$ e $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.

Por fim, somamos esses dois valores: $\text{Soma} = 2 + \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

Tirando o mínimo múltiplo comum (MMC), que é $2$: $\text{Soma} = \frac{4}{2} + \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{4 - 1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Esse é o valor recebido pelo navio receptor.