Questão 150 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos traduzir as informações do enunciado para a linguagem matemática, montando uma expressão algébrica que relacione o custo ($C$), a área da parede ($A$) e a distância até a fonte sonora ($D$).

Relações de Proporcionalidade

O enunciado nos dá duas informações fundamentais sobre como as grandezas se relacionam:

1. A espessura ($E$) é inversamente proporcional ao quadrado da distância ($D$): Isso significa que podemos escrever a espessura como uma constante dividida por $D^2$. $E = \frac{k_1}{D^2}$

2. O custo ($C$) é diretamente proporcional ao volume ($V$) do material: O volume de revestimento de uma parede é dado pelo produto da sua área pela sua espessura ($V = A \cdot E$). Como o custo é diretamente proporcional a esse volume, podemos multiplicá-lo por uma outra constante. $C = k_2 \cdot V$ $C = k_2 \cdot (A \cdot E)$

Montando a Expressão Geral

Agora, vamos substituir a expressão da espessura ($E$) na equação do custo ($C$): $C = k_2 \cdot A \cdot \left( \frac{k_1}{D^2} \right)$

Podemos juntar as duas constantes ($k_1$ e $k_2$) em uma única constante de proporcionalidade, que chamaremos apenas de $k$ (onde $k = k_1 \cdot k_2$). Assim, a fórmula geral para o custo fica: $C = k \cdot \frac{A}{D^2}$

Encontrando a Constante

Para descobrir o valor da constante $k$, vamos usar os dados numéricos fornecidos no início do problema:

• Área da parede: $A = 9 \text{ m}^2$
• Distância da fonte sonora: $D = 3 \text{ m}$
• Custo: $C = 500$

Substituindo esses valores na nossa fórmula geral: $500 = k \cdot \frac{9}{3^2}$ $500 = k \cdot \frac{9}{9}$ $500 = k \cdot 1$ $k = 500$

Conclusão

Agora que sabemos que a constante de proporcionalidade $k$ vale $500$, basta substituir esse valor de volta na expressão geral para obter a fórmula final do custo em função de qualquer área $A$ e distância $D$: $C = \frac{500 \cdot A}{D^2}$

Essa expressão corresponde exatamente à alternativa B.