Questão 138 do ENEM 2024 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos estruturar a formação da senha e analisar as opções disponíveis para cada caractere. A senha é composta por $5$ caracteres no total, seguindo uma ordem estrita: $2$ algarismos seguidos por $3$ letras.

Além disso, há duas palavras-chave fundamentais no enunciado: os algarismos devem ser distintos e as letras devem ser diferentes. Isso significa que não podemos repetir caracteres dentro de seus respectivos grupos.

Analisando os caracteres disponíveis

O funcionário só pode usar as teclas $1$, $2$, $5$, $7$ e $0$. Vamos mapear o que cada uma dessas teclas oferece:

Para os algarismos: Temos exatamente os números das teclas escolhidas: $\{1, 2, 5, 7, 0\}$. Total: $5$ opções de algarismos.

Para as letras: Precisamos verificar as letras correlacionadas apenas às teclas permitidas:

• Tecla $1$: Nenhuma letra.
• Tecla $2$: A, B, C ($3$ letras).
• Tecla $5$: J, K, L ($3$ letras).
• Tecla $7$: P, Q, R, S ($4$ letras).
• Tecla $0$: Nenhuma letra.

Somando as letras disponíveis, temos $3 + 3 + 4 = 10$ opções de letras no total.

Calculando as possibilidades

Vamos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem, calculando as possibilidades para cada "vaga" da senha e multiplicando os resultados.

1. A parte numérica ($2$ algarismos distintos):

• Para o primeiro algarismo, temos $5$ opções disponíveis.
• Para o segundo algarismo, como não podemos repetir o que já foi usado, sobram $4$ opções.

Possibilidades para os números: $5 \times 4 = 20$.

2. A parte alfabética ($3$ letras diferentes):

• Para a primeira letra, temos $10$ opções disponíveis.
• Para a segunda letra, não podemos repetir a anterior, então sobram $9$ opções.
• Para a terceira letra, não podemos repetir as duas já usadas, sobrando $8$ opções.

Possibilidades para as letras: $10 \times 9 \times 8 = 720$.

Total de senhas

Para encontrar o número total de senhas possíveis, multiplicamos as combinações da parte numérica pelas combinações da parte alfabética:

$Total = 20 \times 720$ $Total = 14.400$

Portanto, o funcionário tem $14.400$ possibilidades diferentes para cadastrar sua senha.