Questão 161 do ENEM 2018 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos traduzir a situação descrita no enunciado para a linguagem da Geometria Analítica. O problema nos diz que os bombeiros se posicionam de forma que a distância até o foco $A$ seja sempre o dobro da distância até o foco $B$. Vamos colocar isso em um plano cartesiano para facilitar a visualização e os cálculos.

Vamos posicionar o foco $A$ na origem do plano cartesiano, ou seja, no ponto $A(0, 0)$. Como a distância entre os focos é de $30\text{ m}$, podemos colocar o foco $B$ sobre o eixo $x$, no ponto $B(30, 0)$. A posição de um bombeiro qualquer será representada por um ponto genérico $P(x, y)$.

A condição do problema é que a distância do bombeiro ao foco $A$ ($d_A$) é o dobro da distância ao foco $B$ ($d_B$). Matematicamente, escrevemos:

$d_A = 2 \cdot d_B$

Para evitar trabalhar com raízes quadradas (já que a fórmula da distância entre dois pontos envolve raiz), podemos elevar ambos os lados da equação ao quadrado. Note que o $2$ também será elevado ao quadrado:

$(d_A)^2 = 4 \cdot (d_B)^2$

Lembrando que a distância ao quadrado entre dois pontos $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ é dada por $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$, vamos calcular $(d_A)^2$ e $(d_B)^2$:

• Distância de $P(x, y)$ até $A(0, 0)$: $(d_A)^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$
• Distância de $P(x, y)$ até $B(30, 0)$: $(d_B)^2 = (x - 30)^2 + (y - 0)^2 = (x - 30)^2 + y^2$

Substituindo essas expressões na nossa equação inicial, temos:

$x^2 + y^2 = 4 \cdot \left[ (x - 30)^2 + y^2 \right]$

Agora, vamos desenvolver o produto notável $(x - 30)^2$ (o quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo):

$x^2 + y^2 = 4 \cdot (x^2 - 60x + 900 + y^2)$

Aplicando a propriedade distributiva, multiplicando todos os termos dentro dos colchetes por $4$:

$x^2 + y^2 = 4x^2 - 240x + 3600 + 4y^2$

Vamos reorganizar a equação, passando todos os termos para o lado direito para igualar a zero:

$3x^2 - 240x + 3y^2 + 3600 = 0$

Para simplificar nossos cálculos, podemos dividir toda a equação por $3$:

$x^2 - 80x + y^2 + 1200 = 0$

Essa é a equação geral de uma circunferência. Para descobrir suas características (centro e raio), precisamos transformá-la na equação reduzida, utilizando a técnica de completar quadrados.

Observe o termo $x^2 - 80x$. Ele é o início do produto notável $(x - 40)^2$, que se expande para $x^2 - 80x + 1600$. Para podermos escrever $(x - 40)^2$ sem alterar o valor da equação original, somamos e subtraímos $1600$:

$(x^2 - 80x + 1600) - 1600 + y^2 + 1200 = 0$

$(x - 40)^2 + y^2 - 400 = 0$

$(x - 40)^2 + y^2 = 400$

Comparando com a equação reduzida da circunferência $(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2$, descobrimos que os bombeiros se posicionam sobre uma circunferência (conhecida na matemática como Círculo de Apolônio) de centro $C(40, 0)$ e raio $R$ tal que:

$R^2 = 400 \implies R = \sqrt{400} = 20\text{ m}$

O problema pede a maior distância possível entre dois bombeiros. Como eles estão posicionados sobre essa circunferência, a maior distância em linha reta entre quaisquer dois pontos de uma circunferência é exatamente o seu diâmetro.

Como o raio é $R = 20\text{ m}$, o diâmetro será:

$D = 2 \cdot R = 2 \cdot 20 = 40\text{ m}$

Portanto, a maior distância que dois bombeiros poderiam ter entre eles é de $40\text{ m}$.