Questão 140 do ENEM 2025 — Matemática

O objetivo é descobrir quantos escudos diferentes conseguimos montar respeitando as regras e verificar se dá para atender às 16 equipes.

1. Entendendo o formato do escudo e as adjacências

O ponto de partida é entender como as 4 regiões do escudo se encaixam. A regra central é: regiões que compartilham um lado (uma linha de fronteira) não podem receber a mesma cor.

Pela estrutura do escudo (um contorno em formato de pentágono dividido por linhas que se encontram em um ponto central), as 4 regiões se organizam assim: uma região no Topo, duas regiões laterais (Esquerda e Direita) e uma região embaixo (Baixo). As linhas partem do centro, de modo que:

• O Topo faz fronteira com a Esquerda e com a Direita.
• A Esquerda faz fronteira com o Topo e com a de Baixo.
• A Direita faz fronteira com o Topo e com a de Baixo.
• A de Baixo faz fronteira com a Esquerda e com a Direita.

Repare em uma consequência importante dessa geometria: o Topo e a região de Baixo não têm lado em comum (só se aproximam pelo ponto central), e o mesmo vale para Esquerda e Direita. Ou seja, esses pares opostos podem, sim, repetir cor. É exatamente isso que os exemplos de escudos válidos ilustram: pares de regiões opostas aparecem com a mesma cor, o que só é permitido porque elas não se tocam por um lado.

O esquema de contato forma, portanto, um ciclo: Topo → Direita → Baixo → Esquerda → Topo.

2. Calculando as combinações de cores

Temos 3 cores disponíveis. Como Topo e Baixo não se tocam, eles podem ter cores iguais ou diferentes, e isso altera quantas opções sobram para as laterais. Por isso, dividimos a contagem em dois casos.

Caso 1: Topo e Baixo com a MESMA cor.

• Topo: $3$ opções de cor.
• Baixo: deve ser igual ao Topo, logo $1$ opção.
• Esquerda: faz fronteira com Topo e Baixo, que estão com a mesma cor; sobram $3 - 1 = 2$ opções.
• Direita: mesma situação, sobram $2$ opções.

$3 \times 1 \times 2 \times 2 = 12 \text{ escudos}$

Caso 2: Topo e Baixo com cores DIFERENTES.

• Topo: $3$ opções.
• Baixo: deve diferir do Topo, logo $2$ opções.
• Esquerda: faz fronteira com Topo e Baixo, que agora têm duas cores distintas; sobra $3 - 2 = 1$ opção.
• Direita: mesma situação, sobra $1$ opção.

$3 \times 2 \times 1 \times 1 = 6 \text{ escudos}$

3. Conclusão

Somando os dois casos: $\text{Total} = 12 + 6 = 18 \text{ escudos distintos}$

Como são necessárias 16 equipes e conseguimos montar 18 escudos diferentes, dá para dar um escudo único a cada equipe: a confecção é viável. Isso corresponde ao argumento I: "é viável, pois há 18 escudos possíveis".