Questão 167 do ENEM 2017 — Matemática

O problema envolve o corte de uma "tampa" (uma calota esférica) na parte de baixo de um melão que tem formato de esfera. A figura mostra a esfera com centro $O$, a seção circular do corte (parte hachurada, que será apoiada na mesa) com raio $r$, e a altura $h$ da calota que será eliminada. Para resolver, usamos as medidas do problema: o diâmetro do melão é de $10 \text{ cm}$ e o raio da seção do corte deve ser $r = 3 \text{ cm}$.

Entendendo as medidas da esfera

Como o raio de uma esfera é a metade do seu diâmetro: $R = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}$

O raio da seção circular do corte (a parte plana apoiada na mesa) é $r = 3 \text{ cm}$.

Aplicando o Teorema de Pitágoras

Dentro da esfera, formamos um triângulo retângulo com três pontos, exatamente como sugere a figura (com o ângulo reto marcado no centro $A$ da seção):

1. O centro da esfera ($O$);
2. O centro da base cortada ($A$);
3. Um ponto na borda da base cortada ($B$).

Nesse triângulo:

• A hipotenusa é o segmento $OB$, que vai do centro da esfera até a borda do corte — e vale exatamente o raio da esfera, $R = 5 \text{ cm}$.
• Um cateto é o raio da base cortada, $r = 3 \text{ cm}$.
• O outro cateto é a distância $x$ do centro da esfera até o plano do corte.

Aplicando o Teorema de Pitágoras: $R^2 = r^2 + x^2$ $5^2 = 3^2 + x^2$ $25 = 9 + x^2$ $x^2 = 16$ $x = 4 \text{ cm}$

Calculando a altura da calota ($h$)

A distância do centro da esfera até o ponto mais baixo do melão é o próprio raio, $R = 5 \text{ cm}$. Essa distância se divide em duas partes: a distância do centro até o plano do corte ($x$) mais a altura da calota removida ($h$): $R = x + h$ $5 = 4 + h$ $h = 1 \text{ cm}$

Portanto, a altura $h$ da calota a ser cortada é de $1 \text{ cm}$, o que corresponde à alternativa C.