Questão 156 do ENEM 2009 — Matemática

ENEM 2009Matemática1ª aplicação

Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d1 e d2, em que os dígitos d1 e d2 são denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário d1 = (11 – r). O dígito d2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo, isto é, d2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d2 = (11 – s).

Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, respectivamente,

0 e 9.

Resposta correta

1 e 4.

1 e 7.

9 e 1.

0 e 1.

Gabarito oficial: alternativa A

Resolução comentada

Para resolvermos essa questão, precisamos seguir o algoritmo de cálculo dos dígitos verificadores do CPF, passo a passo, conforme descrito no enunciado.

Cálculo do primeiro dígito verificador ( $d_1$ )

O enunciado nos diz que os $9$ primeiros algarismos do CPF de João são $123.456.789$ . A regra para encontrar $d_1$ é multiplicar cada um desses algarismos pela sequência decrescente de $10$ a $2$ e somar os resultados.

Vamos montar a soma, que chamaremos de $S_1$ :

$S_1 = (1 \times 10) + (2 \times 9) + (3 \times 8) + (4 \times 7) + (5 \times 6) + (6 \times 5) + (7 \times 4) + (8 \times 3) + (9 \times 2)$

Calculando cada multiplicação:

$S_1 = 10 + 18 + 24 + 28 + 30 + 30 + 28 + 24 + 18$

Somando todos esses valores, obtemos:

$S_1 = 210$

Agora, precisamos encontrar o resto $r$ da divisão de $S_1$ por $11$ . Fazendo a divisão de $210$ por $11$ :

$210 = 11 \times 19 + 1$

Isso significa que o quociente é $19$ e o resto é $r = 1$ .

A regra do CPF diz que se o resto $r$ for $0$ ou $1$ , o dígito $d_1$ será $0$ . Como nosso resto foi $1$ , concluímos que:

$d_1 = 0$

Cálculo do segundo dígito verificador ( $d_2$ )

Para calcular $d_2$ , a regra é quase a mesma, mas os $9$ algarismos que vamos multiplicar agora começam a partir do segundo algarismo do CPF e terminam no $d_1$ que acabamos de descobrir. Ou seja, a nova sequência de algarismos é: $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0$ .

Vamos multiplicar essa nova sequência pelos mesmos pesos de $10$ a $2$ e somar os resultados, chamando essa soma de $S_2$ :

$S_2 = (2 \times 10) + (3 \times 9) + (4 \times 8) + (5 \times 7) + (6 \times 6) + (7 \times 5) + (8 \times 4) + (9 \times 3) + (0 \times 2)$

Calculando cada multiplicação:

$S_2 = 20 + 27 + 32 + 35 + 36 + 35 + 32 + 27 + 0$

Somando todos esses valores, obtemos:

$S_2 = 244$

Novamente, precisamos encontrar o resto $s$ da divisão de $S_2$ por $11$ . Fazendo a divisão de $244$ por $11$ :

$244 = 11 \times 22 + 2$

Isso significa que o quociente é $22$ e o resto é $s = 2$ .

A regra diz que se o resto $s$ for diferente de $0$ e $1$ , o dígito $d_2$ será calculado por $11 - s$ . Como nosso resto foi $2$ , fazemos a conta:

$d_2 = 11 - 2 = 9$

Conclusão

Os dígitos verificadores esquecidos por João são $d_1 = 0$ e $d_2 = 9$ , respectivamente.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2009 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.

Questão 156 do ENEM 2009 — Matemática

Resolução comentada

Cálculo do primeiro dígito verificador (d1d_1d1​)

Cálculo do segundo dígito verificador (d2d_2d2​)

Conclusão

Cálculo do primeiro dígito verificador ( $d_1$ )

Cálculo do segundo dígito verificador ( $d_2$ )