Questão 168 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos dividir o problema em duas partes: primeiro, calcular as possibilidades de escolha dos caracteres e, em seguida, calcular as possíveis posições que esses caracteres podem ocupar na senha.

Escolha dos caracteres

A senha é composta por $4$ caracteres, sendo $2$ algarismos e $2$ letras.

• Algarismos: Temos $10$ algarismos disponíveis (de $0$ a $9$). Como a questão não proíbe repetição, para escolher $2$ algarismos, temos $10 \cdot 10 = 10^2$ possibilidades.
• Letras: O alfabeto tem $26$ letras. Como o enunciado destaca que letras maiúsculas e minúsculas são consideradas diferentes, temos um total de $26 \cdot 2 = 52$ letras disponíveis. Para escolher $2$ letras, podendo haver repetição, temos $52 \cdot 52 = 52^2$ possibilidades.

Se a senha tivesse um formato fixo (por exemplo, os dois primeiros caracteres sendo algarismos e os dois últimos sendo letras), o total de senhas seria apenas a multiplicação dessas possibilidades: $10^2 \cdot 52^2$.

Ordenação dos caracteres

No entanto, o enunciado afirma que as letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Isso significa que precisamos calcular de quantas maneiras podemos organizar $2$ algarismos (que chamaremos de $A$) e $2$ letras (que chamaremos de $L$) nos $4$ espaços da senha.

Estamos buscando o número de anagramas da "palavra" $AALL$. Como temos $4$ letras no total, com a letra $A$ se repetindo $2$ vezes e a letra $L$ se repetindo $2$ vezes, usamos a fórmula da permutação com repetição:

$P_4^{2,2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!}$

Total de senhas possíveis

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número total de senhas será o produto das possibilidades de escolha dos caracteres pelas possibilidades de ordenação desses caracteres:

$\text{Total} = 10^2 \cdot 52^2 \cdot \frac{4!}{2! \cdot 2!}$

Analisando as alternativas, essa expressão corresponde exatamente à alternativa E.