Questão 151 do ENEM 2019 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos analisar como a constante elástica da mola se altera quando modificamos suas características físicas. O problema nos fornece a fórmula da constante elástica $C$:

$C = \frac{G \cdot d^4}{8 \cdot D^3 \cdot N}$

Para a mola original, $M_1$, a constante elástica $C_1$ é dada por:

$C_1 = \frac{G_1 \cdot d_1^4}{8 \cdot D_1^3 \cdot N_1}$

Agora, vamos olhar para a nova mola, $M_2$. A constante elástica $C_2$ terá a mesma estrutura de fórmula, mas com as novas características:

$C_2 = \frac{G_2 \cdot d_2^4}{8 \cdot D_2^3 \cdot N_2}$

O enunciado nos diz exatamente como as características de $M_2$ se relacionam com as de $M_1$:

• $D_2 = \frac{D_1}{3}$
• $d_2 = 3d_1$
• $N_2 = 9N_1$
• $G_2 = 4G_1$

Vamos substituir essas relações na fórmula de $C_2$:

$C_2 = \frac{(4G_1) \cdot (3d_1)^4}{8 \cdot \left(\frac{D_1}{3}\right)^3 \cdot (9N_1)}$

O próximo passo é aplicar as potências com muito cuidado. Lembre-se de que a potência se aplica tanto ao número quanto à variável:

• $(3d_1)^4 = 3^4 \cdot d_1^4 = 81d_1^4$
• $\left(\frac{D_1}{3}\right)^3 = \frac{D_1^3}{3^3} = \frac{D_1^3}{27}$

Substituindo esses valores de volta na equação, temos:

$C_2 = \frac{4G_1 \cdot 81d_1^4}{8 \cdot \frac{D_1^3}{27} \cdot 9N_1}$

Agora, vamos reorganizar a expressão, separando todos os números (coeficientes) das variáveis. O objetivo é fazer a expressão de $C_1$ "aparecer" dentro de $C_2$:

$C_2 = \frac{4 \cdot 81}{\frac{9}{27}} \cdot \left( \frac{G_1 \cdot d_1^4}{8 \cdot D_1^3 \cdot N_1} \right)$

Note que a parte entre parênteses é exatamente a nossa constante original $C_1$. Então, podemos substituí-la:

$C_2 = \frac{324}{\frac{1}{3}} \cdot C_1$

Para resolver a divisão por uma fração, conservamos o numerador e multiplicamos pelo inverso do denominador:

$C_2 = 324 \cdot 3 \cdot C_1$

$C_2 = 972 \cdot C_1$

Assim, descobrimos que a nova constante elástica $C_2$ é $972$ vezes maior que a constante original $C_1$.