Questão 157 do ENEM 2010 — Matemática

Entendendo o problema

A questão pede para calcularmos o custo do concreto usado para construir uma manilha de esgoto. Essa manilha tem o formato de um cilindro vazado (ou tubo). Para encontrar o custo, precisamos primeiro descobrir o volume de concreto utilizado e, em seguida, multiplicar esse volume pelo preço do metro cúbico.

Calculando as dimensões

O enunciado nos diz que a manilha foi construída ao redor de um cilindro interno com as seguintes medidas:

• Diâmetro interno: $2\text{ m}$, o que significa que o raio interno ($r$) é a metade disso, ou seja, $r = 1\text{ m}$.
• Altura ($h$): $4\text{ m}$.

A camada de concreto que envolve esse cilindro tem uma espessura de $20\text{ cm}$. Como as outras medidas e o preço estão baseados em metros, precisamos converter essa espessura: $20\text{ cm} = 0,2\text{ m}$

Com isso, o raio externo ($R$) do cilindro de concreto será o raio interno mais a espessura da camada: $R = 1\text{ m} + 0,2\text{ m} = 1,2\text{ m}$

Encontrando o volume de concreto

O volume de concreto ($V$) é a diferença entre o volume do cilindro externo (com raio $R$) e o volume do cilindro interno (com raio $r$). A fórmula do volume de um cilindro é a área da base vezes a altura ($\pi \cdot \text{raio}^2 \cdot h$). Assim, temos: $V = V_{\text{externo}} - V_{\text{interno}}$ $V = \pi \cdot R^2 \cdot h - \pi \cdot r^2 \cdot h$

Podemos colocar $\pi$ e $h$ em evidência para facilitar as contas: $V = \pi \cdot h \cdot (R^2 - r^2)$

Substituindo os valores conhecidos e a aproximação $\pi = 3,1$ dada no enunciado: $V = 3,1 \cdot 4 \cdot (1,2^2 - 1^2)$ $V = 12,4 \cdot (1,44 - 1)$ $V = 12,4 \cdot 0,44$

Realizando a multiplicação: $V = 5,456\text{ m}^3$

Calculando o custo final

Sabemos que cada metro cúbico de concreto custa \text{R\ } 10,00$. Para encontrar o preço total da manilha, basta multiplicar o volume encontrado pelo valor do metro cúbico: $\text{Custo} = 5,456 \cdot 10$ $\text{Custo} = 54,56$

Portanto, o preço dessa manilha é de \text{R\ } 54,56$.