Questão 176 do ENEM 2019 — Matemática

ENEM 2019Matemática1ª aplicação
Para construir uma piscina, cuja área total da superfície interna é igual a 40 m², uma construtora apresentou o seguinte orçamento:
• R\$ 10 000,00 pela elaboração do projeto;
• R\$ 40 000,00 pelos custos fixos;
• R\$ 2 500,00 por metro quadrado para construção da área interna da piscina.
Após a apresentação do orçamento, essa empresa decidiu reduzir o valor de elaboração do projeto em 50%, mas recalculou o valor do metro quadrado para a construção da área interna da piscina, concluindo haver a necessidade de aumentá-lo em 25%. Além disso, a construtora pretende dar um desconto nos custos fixos, de maneira que o novo valor do orçamento seja reduzido em 10% em relação ao total inicial.
O percentual de desconto que a construtora deverá conceder nos custos fixos é de
A
23,3%.
B
25,0%.
C
50,0%.
87,5%.
Resposta correta
E
100,0%.
Gabarito oficial: alternativa D

Resolução comentada

Para resolver essa questão, precisamos organizar as informações em dois momentos: o orçamento inicial e o orçamento recalculado. O nosso objetivo final é descobrir qual foi a porcentagem de desconto aplicada especificamente sobre os "custos fixos".

O Orçamento Inicial

Primeiro, vamos calcular o valor total do orçamento original apresentado pela construtora. Ele é composto por três partes:

  • Projeto: R$ 10.000,00
  • Custos fixos: R$ 40.000,00
  • Construção: Como a piscina tem 40 m240 \text{ m}^2 e o custo é de R$ 2.500,00 por metro quadrado, temos: 40×2.500=R$100.000,0040 \times 2.500 = R\$ 100.000,00

Somando tudo, o valor total inicial do orçamento é: 10.000+40.000+100.000=R$150.000,0010.000 + 40.000 + 100.000 = R\$ 150.000,00

A Meta do Novo Orçamento

O enunciado diz que a construtora quer dar um desconto para que o novo valor total seja reduzido em 10%10\% em relação ao total inicial.

Calculando o desconto de 10%10\% sobre R$ 150.000,00: 150.000×0,10=R$15.000,00150.000 \times 0,10 = R\$ 15.000,00

Portanto, o novo orçamento total deve ser: 150.000−15.000=R$135.000,00150.000 - 15.000 = R\$ 135.000,00

Recalculando os Custos Individuais

Agora, vamos ver como ficaram os preços de cada item após as alterações propostas pela empresa:

  • Novo Projeto: Redução de 50%50\%. A metade de R$ 10.000,00 é R$ 5.000,00.
  • Nova Construção: Aumento de 25%25\%. Podemos calcular 25%25\% de R$ 100.000,00 (que é R$ 25.000,00) e somar ao valor original, resultando em R$ 125.000,00.

Sabemos que a soma do novo projeto, da nova construção e dos novos custos fixos (que chamaremos de xx) deve ser igual à meta do novo orçamento (R$ 135.000,00). Montando a equação: 5.000+125.000+x=135.0005.000 + 125.000 + x = 135.000 130.000+x=135.000130.000 + x = 135.000 x=135.000−130.000x = 135.000 - 130.000 x=R$5.000,00x = R\$ 5.000,00

Isso significa que, para a conta fechar, os custos fixos tiveram que cair drasticamente para R$ 5.000,00.

O Percentual de Desconto

A pergunta final é sobre o percentual de desconto concedido nos custos fixos.

O valor original dos custos fixos era R$ 40.000,00 e passou a ser R$ 5.000,00. O valor absoluto do desconto (em reais) foi: 40.000−5.000=R$35.000,0040.000 - 5.000 = R\$ 35.000,00

Para encontrar o percentual, dividimos o valor descontado pelo valor original (pois o desconto é sempre relativo ao que era cobrado antes): 35.00040.000=3540=78\frac{35.000}{40.000} = \frac{35}{40} = \frac{7}{8}

Fazendo a divisão de 77 por 88, encontramos: 78=0,875\frac{7}{8} = 0,875

Multiplicando por 100100 para transformar em porcentagem, chegamos a 87,5%87,5\%.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2019 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.