Questão 152 do ENEM 2019 — Matemática

O problema nos pede para dividir o valor total de R$ 31.000,00 entre três empresas, de forma inversamente proporcional à idade de uso das máquinas cadastradas, que são $2$, $3$ e $5$ anos. Nosso objetivo é descobrir quanto receberá a empresa com a máquina mais velha, ou seja, a de $5$ anos.

Quando dividimos um valor de forma inversamente proporcional a determinados números, significa que quem tem o menor número recebe a maior parte, e quem tem o maior número recebe a menor parte. Para resolver isso matematicamente, utilizamos uma constante de proporcionalidade, que chamaremos de $k$.

As partes que cada empresa vai receber podem ser representadas dividindo a constante $k$ pelas respectivas idades das máquinas:

• Empresa com máquina de $2$ anos: $\frac{k}{2}$
• Empresa com máquina de $3$ anos: $\frac{k}{3}$
• Empresa com máquina de $5$ anos: $\frac{k}{5}$

Sabemos que a soma de todas essas partes deve resultar no valor total do edital, que é $31.000$. Assim, podemos montar a seguinte equação:

$\frac{k}{2} + \frac{k}{3} + \frac{k}{5} = 31000$

Para somar essas frações, precisamos encontrar um denominador comum. O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre $2$, $3$ e $5$ é $30$. Ajustando as frações para esse novo denominador, temos:

$\frac{15k}{30} + \frac{10k}{30} + \frac{6k}{30} = 31000$

Agora, podemos somar os numeradores:

$\frac{15k + 10k + 6k}{30} = 31000$

$\frac{31k}{30} = 31000$

Para isolar o $k$, passamos o $30$ multiplicando e o $31$ dividindo:

$31k = 31000 \cdot 30$

$k = \frac{31000 \cdot 30}{31}$

Podemos simplificar a divisão de $31000$ por $31$, que resulta em $1000$:

$k = 1000 \cdot 30$ $k = 30000$

Agora que encontramos o valor da constante de proporcionalidade ($k = 30000$), podemos calcular quanto cada empresa vai receber. A questão pede especificamente o valor destinado à empresa que cadastrou a máquina com maior idade de uso, que é a de $5$ anos.

Substituindo o valor de $k$ na expressão dessa empresa:

$\text{Valor} = \frac{k}{5}$ $\text{Valor} = \frac{30000}{5}$ $\text{Valor} = 6000$

Portanto, a empresa que cadastrou a máquina de $5$ anos receberá R$ 6.000,00.