Questão 152 do ENEM 2018 — Matemática

Para descobrir a representação algébrica do logotipo, precisamos analisar a região do plano cartesiano ocupada pelos pontos e traduzir seus limites em inequações que todo ponto $(x, y)$ do desenho deve obedecer.

Limites do desenho

Pela figura, os pontos formam um triângulo apoiado na origem, com um cateto sobre o eixo $x$ que vai de $0$ até $10$, e a região se elevando até a altura correspondente. Se o desenho fosse um quadrado completamente preenchido, bastaria dizer que $0 \leq x \leq 10$ e $0 \leq y \leq 10$. Mas temos apenas metade desse quadrado, na forma de um triângulo.

A fronteira diagonal

A linha que corta o quadrado e forma a parte superior do triângulo é uma diagonal que passa pela origem, do tipo $(0,0)$, $(1,1)$, $(2,2)$, e assim por diante. A equação dessa reta é $y = x$.

Como os pontos do logotipo estão localizados abaixo dessa diagonal (a região preenchida fica entre o eixo $x$ e a reta $y = x$), a altura de cada ponto (coordenada $y$) nunca ultrapassa o seu comprimento (coordenada $x$). Por exemplo, quando $x = 5$, os pontos vão de $y = 0$ até no máximo $y = 5$.

Isso significa que, para qualquer ponto do triângulo, vale a condição $y \leq x$.

Juntando as condições

Reunindo todas as restrições:

1. Os valores não são negativos, então o menor valor de $y$ é $0$: $\;0 \leq y$.
2. O valor de $y$ é limitado pelo de $x$: $\;y \leq x$.
3. O valor máximo de $x$ é $10$: $\;x \leq 10$.

Podemos escrever tudo em uma única cadeia de desigualdades, na ordem crescente dos valores: $0 \leq y \leq x \leq 10$

Conferindo com um ponto e com as alternativas

Um ponto típico da região, como $(8, 2)$, satisfaz a cadeia: $0 \leq 2 \leq 8 \leq 10$, verdadeiro.

• A alternativa A ($0 \leq x \leq y \leq 10$) afirma $x \leq y$, ou seja, a região acima da diagonal — o triângulo oposto ao da figura.
• A alternativa C descreve o quadrado inteiro, sem o corte diagonal.
• As alternativas D e E usam a soma $x + y$, que corresponde a triângulos limitados por retas decrescentes (do tipo $y = -x + k$), diferentes da figura.

Portanto, a única expressão que descreve a região do logotipo é a da letra B.