Questão 180 do ENEM 2018 — Matemática

ENEM 2018Matemática1ª aplicação

Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de papel transparente, na qual está desenhada em negrito uma diagonal que forma 30° com a borda inferior. O raio da base do cilindro mede 6/π cm, e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de hélice, como na figura.

O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é
A
\(36\sqrt{3}\)
\(24\sqrt{3}\)
Resposta correta
C
\(4\sqrt{3}\)
D
\(36\)
E
72
Gabarito oficial: alternativa B

Resolução comentada

Quando "desenrolamos" a faixa de papel que envolve o cilindro, aplicamos uma técnica chamada planificação. Uma volta completa da hélice, ao ser esticada sobre o plano, vira a diagonal de um retângulo, e essa diagonal forma um triângulo retângulo cujos catetos têm significados geométricos bem definidos.

O triângulo da planificação

Nesse triângulo retângulo:

  • o cateto horizontal corresponde ao comprimento da circunferência da base do cilindro (a distância percorrida em uma volta completa ao redor dele);
  • o cateto vertical é a altura que a hélice sobe em uma única volta;
  • o ângulo entre a diagonal (a hélice) e a base é o mesmo 30∘30^\circ indicado na figura.

Comprimento da base (circunferência)

O comprimento da circunferência da base é: C=2πrC = 2\pi r

Como o raio vale r=6π cmr = \frac{6}{\pi}\text{ cm}, temos: C=2π⋅6π=2⋅6=12 cmC = 2\pi \cdot \frac{6}{\pi} = 2 \cdot 6 = 12\text{ cm}

Ou seja, a cada volta a hélice avança 12 cm12\text{ cm} na horizontal quando o papel está esticado.

Altura de uma volta

No triângulo retângulo, conhecemos o cateto adjacente ao ângulo de 30∘30^\circ (a base, 12 cm12\text{ cm}) e queremos o cateto oposto (a altura hh de uma volta). A razão que liga esses dois catetos é a tangente: tan⁡(30∘)=h12\tan(30^\circ) = \frac{h}{12}

Como tan⁡(30∘)=33\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}: 33=h12⇒h=1233=43 cm\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h}{12} \Rightarrow h = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\text{ cm}

Então, a cada volta completa, a hélice sobe 43 cm4\sqrt{3}\text{ cm}.

Altura total do cilindro

Aqui está o ponto em que muitos alunos escorregam: a altura total não é a altura de uma única volta (isso levaria à alternativa C). A altura total é o número de voltas que a hélice dá ao redor do cilindro, informação que vem da figura, multiplicado pela altura de cada volta.

A relação é: H=n⋅43H = n \cdot 4\sqrt{3}

onde nn é o número de voltas mostrado na figura. Se a hélice completa 66 voltas ao redor do cilindro, então: H=6⋅43=243 cmH = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\text{ cm}

Esse é o valor que corresponde à alternativa B: a altura do cilindro mede 243 cm24\sqrt{3}\text{ cm}.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2018 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.