Questão 151 do ENEM 2015 — Matemática

A questão pede o percentual mínimo de meninas que precisam ser vacinadas para que a probabilidade de infecção na população fique, no máximo, em $5,9\%$. Os dados numéricos abaixo (risco sem vacina, eficácia, meta e os percentuais das propostas I a V) vêm do enunciado e do quadro de propostas da questão.

Entendendo os riscos

Há dois cenários de risco de desenvolver a doença:

1. Meninas não vacinadas: o risco é de $50\%$, ou seja, $0,50$.
2. Meninas vacinadas: a vacina tem eficácia de $98\%$, o que reduz o risco a apenas $2\%$ do valor original. Assim, o risco de uma menina vacinada se infectar é: $0,50 \cdot 0,02 = 0,01$ Ou seja, cai para $1\%$.

Modelando a probabilidade total

Chamando de $v$ a proporção de meninas vacinadas, a proporção das não vacinadas é $(1 - v)$. A probabilidade total de uma menina qualquer desenvolver a doença é a média ponderada dos dois riscos: $P = v \cdot 0,01 + (1 - v) \cdot 0,50$

A meta é que essa probabilidade seja de, no máximo, $5,9\%$, isto é, $0,059$. Montamos a inequação: $v \cdot 0,01 + (1 - v) \cdot 0,50 \leq 0,059$

Resolvendo a inequação

Aplicando a distributiva: $0,01v + 0,50 - 0,50v \leq 0,059$

Juntando os termos em $v$: $0,50 - 0,49v \leq 0,059$

Isolando $v$: $0,50 - 0,059 \leq 0,49v$ $0,441 \leq 0,49v$ $v \geq \frac{0,441}{0,49} = 0,90$

Ou seja, é preciso vacinar pelo menos $90\%$ do público-alvo para atingir a meta.

Conclusão

Como o objetivo é vacinar a menor quantidade possível de pessoas (para reduzir custos), mas ainda cumprindo a meta, procuramos a menor proposta que atinja pelo menos $90\%$. Entre as propostas do quadro:

• Proposta I: $90\%$
• Proposta II: $55,8\%$
• Proposta III: $88,2\%$
• Proposta IV: $49\%$
• Proposta V: $95,9\%$

Apenas as propostas I ($90\%$) e V ($95,9\%$) atingem a meta. Como se deseja o menor percentual possível dentro dela, a escolha ideal é a Proposta I, que vacina exatamente os $90\%$ necessários.