Questão 172 do ENEM 2016 — Matemática

O objetivo é contar de quantas maneiras podemos colorir os quatro círculos usando $3$ cores, respeitando a regra de que dois círculos ligados por um segmento não podem ter a mesma cor.

Pela estrutura da figura, os quatro círculos estão dispostos de modo que cada um se liga a dois vizinhos, formando um ciclo fechado (um quadrilátero). Vamos nomear os círculos de $A$, $B$, $C$ e $D$ percorrendo esse ciclo. As ligações são: $A$–$B$, $B$–$C$, $C$–$D$ e $D$–$A$. Note que os pares de vértices opostos ($A$ e $C$; $B$ e $D$) não estão ligados entre si.

O segredo para contar colorações em ciclos é separar em casos a partir de dois vértices opostos, que podem ou não ter a mesma cor. Vamos analisar $A$ e $C$.

Caso 1: $A$ e $C$ têm a mesma cor

• $A$: $3$ opções de cor.
• $C$: deve ser igual a $A$, então $1$ opção.
• $B$: ligado a $A$ e a $C$; como ambos têm a mesma cor, basta ser diferente dessa cor: $3 - 1 = 2$ opções.
• $D$: também ligado a $A$ e $C$ (mesma cor), logo $2$ opções.

$3 \times 1 \times 2 \times 2 = 12 \text{ maneiras}$

Caso 2: $A$ e $C$ têm cores diferentes

• $A$: $3$ opções.
• $C$: diferente de $A$, então $2$ opções.
• $B$: ligado a $A$ e a $C$, que agora têm cores distintas; deve evitar as duas: $3 - 2 = 1$ opção.
• $D$: pela mesma razão, $1$ opção.

$3 \times 2 \times 1 \times 1 = 6 \text{ maneiras}$

Conclusão

Os dois casos são mutuamente exclusivos: ou $A$ e $C$ têm a mesma cor, ou têm cores diferentes. Por isso somamos as possibilidades:

$12 + 6 = 18 \text{ maneiras}$

Portanto, a criança pode pintar o desenho de $18$ maneiras diferentes, o que corresponde à alternativa C.