Questão 157 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos descobrir em qual dia ($t$) o número de infectados ($f(t)$) atingiu a marca de $1.600$ pessoas.

O enunciado nos fornece a função que descreve o número de infectados em relação ao tempo: $f(t) = -2t^2 + 120t$

Como queremos saber quando esse número chega a $1.600$, basta igualar a função a esse valor: $-2t^2 + 120t = 1600$

Agora, temos uma equação do segundo grau para resolver. Vamos organizar os termos passando o $1600$ para o lado esquerdo da igualdade: $-2t^2 + 120t - 1600 = 0$

Para facilitar os cálculos, podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por $-2$: $t^2 - 60t + 800 = 0$

Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara ou o método da soma e produto. Vamos usar soma e produto, que costuma ser mais rápido. Precisamos encontrar dois números que, quando somados, resultem em $60$ (o oposto do coeficiente $b$) e, quando multiplicados, resultem em $800$ (o coeficiente $c$).

Pensando em números terminados em zero, é fácil perceber que: $20 + 40 = 60$ $20 \times 40 = 800$

Portanto, as raízes da nossa equação são $t_1 = 20$ e $t_2 = 40$.

Isso significa que o número de infectados atinge a marca de $1.600$ pessoas em dois momentos: no $20^\circ$ dia e no $40^\circ$ dia. Como a Secretaria de Saúde decidiu realizar a segunda dedetização no dia em que o número de infectados chegasse a essa marca, a ação deve ocorrer na primeira vez que isso acontece.

Logo, a segunda dedetização começou no $20^\circ$ dia.