Questão 165 do ENEM 2024 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender como a probabilidade funciona quando temos eventos independentes, que é o caso dos dois semáforos.

O enunciado nos diz que o engenheiro quer que a probabilidade de um ônibus encontrar ambos os sinais vermelhos seja de $\frac{4}{100}$. Como os semáforos funcionam de forma independente e terão o mesmo tempo de sinal vermelho, a probabilidade de encontrar o primeiro sinal vermelho é igual à probabilidade de encontrar o segundo sinal vermelho. Vamos chamar essa probabilidade individual de $P$.

Quando temos eventos independentes, a probabilidade de ambos acontecerem é o produto de suas probabilidades individuais. Assim, podemos escrever a seguinte equação: $P \times P = \frac{4}{100}$ $P^2 = \frac{4}{100}$

Para encontrar o valor de $P$, basta extrair a raiz quadrada de ambos os lados da equação: $P = \sqrt{\frac{4}{100}}$ $P = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Isso significa que a nova probabilidade de o ônibus encontrar um único sinal vermelho deve ser de $\frac{1}{5}$.

Sabemos que a probabilidade de o sinal estar vermelho é a razão entre o tempo em que ele fica vermelho e o tempo total do ciclo, que é de $60$ segundos. Se chamarmos o novo tempo de sinal vermelho de $t$, teremos a seguinte proporção: $\frac{t}{60} = \frac{1}{5}$

Multiplicando cruzado para resolver a equação, encontramos o novo tempo: $5t = 60$ $t = \frac{60}{5}$ $t = 12 \text{ segundos}$

O novo tempo em que o sinal ficará vermelho é de $12$ segundos. No entanto, precisamos ter muito cuidado com o comando da questão: ela pede a redução do tempo, e não o novo tempo.

O tempo original de sinal vermelho era de $15$ segundos. Para encontrar a redução, basta subtrair o novo tempo do tempo original: $\text{Redução} = 15 - 12 = 3 \text{ segundos}$

Portanto, a redução do tempo em que o sinal ficará vermelho, estabelecida pelo engenheiro, foi de $3,00$ segundos.