Questão 143 do ENEM 2011 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender o padrão de transformação geométrica da Figura 1 para a Figura 2 e, em seguida, generalizá-lo para um fator $n$ qualquer.

A reta $r_1$ na Figura 1

Os pontos mais convenientes para descrever uma reta são os interceptos, isto é, onde ela cruza os eixos. Prolongando o segmento $A_1B_1$, a reta $r_1$ cruza o eixo $y$ em $(0, 3)$ e o eixo $x$ em $(3, 0)$. Esses dois pontos definem a reta: $x + y = 3$ (De fato, os pontos marcados $A_1 \approx (1,2)$ e $B_1 \approx (2,1)$ satisfazem essa equação, confirmando a inclinação de $-1$.)

A reta $r_2$ na Figura 2

O enunciado afirma que a largura da imagem se mantém constante enquanto o comprimento é multiplicado. Associando a largura ao eixo $y$ e o comprimento ao eixo $x$, a transformação estica a figura na horizontal e preserva a altura.

Na Figura 2, o comprimento foi duplicado em relação à Figura 1, ou seja, temos o fator $n = 2$. Consequentemente:

• O intercepto no eixo $y$ permanece em $(0, 3)$, pois a largura não mudou.
• O intercepto no eixo $x$ é multiplicado por 2, passando de $3$ para $6$, isto é, $(6, 0)$.

Esses dois pontos definem $r_2$ pela equação $x + 2y = 6$, coerente com o fator $n = 2$.

Generalizando para a reta $r_n$

Aplicando a regra do enunciado para um fator $n$ inteiro e positivo qualquer:

1. Eixo $y$ (largura constante): o intercepto continua sendo $(0, 3)$.
2. Eixo $x$ (comprimento multiplicado por $n$): o intercepto passa de $3$ para $3n$, ou seja, $(3n, 0)$.

Assim, $r_n$ deve passar obrigatoriamente por $(0, 3)$ e $(3n, 0)$.

Encontrando a equação

A forma mais rápida de decidir agora é testar esses dois pontos nas alternativas. A equação correta precisa ser verdadeira para ambos.

Testando a Alternativa A: $x + ny = 3n$

Ponto $(3n, 0)$, com $x = 3n$ e $y = 0$: $3n + n(0) = 3n \;\Rightarrow\; 3n = 3n \quad \text{(verdadeiro)}$

Ponto $(0, 3)$, com $x = 0$ e $y = 3$: $0 + n(3) = 3n \;\Rightarrow\; 3n = 3n \quad \text{(verdadeiro)}$

Como a equação $x + ny = 3n$ é satisfeita pelos dois pontos que definem $r_n$, ela é a resposta correta. Testando esses mesmos pontos nas demais alternativas, as igualdades não se sustentam.

Portanto, a equação de $r_n$ é a da alternativa A.