Questão 149 do ENEM 2015 — Matemática

Para descobrir a quantidade de cores que serão utilizadas na pintura do troféu, precisamos determinar o número total de faces do novo poliedro $P$, já que cada face receberá uma cor distinta.

Começamos relembrando as características de um cubo. Um cubo possui:

• $6$ faces;
• $8$ vértices (os "cantos");
• $12$ arestas.

O enunciado nos diz que um corte plano é feito em cada um dos cantos (vértices) do cubo, retirando um pequeno tetraedro.

O que acontece com o poliedro quando fazemos esses cortes?

1. Faces originais: As $6$ faces originais do cubo não desaparecem. Elas apenas perdem as pontas, mudando de formato (passam de quadrados para octógonos), mas continuam existindo. Portanto, mantemos $6$ faces.
2. Novas faces: Cada vez que cortamos um dos cantos do cubo, criamos uma nova face plana no lugar daquele vértice (que tem formato triangular). Como o cubo tem $8$ vértices, faremos $8$ cortes, gerando $8$ novas faces.

Agora, basta somar as faces originais com as novas faces geradas pelos cortes para encontrar o total de faces do poliedro $P$:

$\text{Total de faces} = \text{Faces originais} + \text{Novas faces}$ $\text{Total de faces} = 6 + 8 = 14$

Como cada face será pintada com uma cor diferente, serão necessárias $14$ cores.

Portanto, a alternativa correta é a C.