Questão 137 do ENEM 2017 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos encontrar o menor número de parcelas ($n$) para que o valor da prestação ($P$) não ultrapasse o limite mensal de \text{R}\ \ 400{,}00$. Ou seja, devemos impor a condição$P \le 400$.

Substituindo a fórmula dada para $P$ nessa inequação, temos:

$\frac{5000 \times 1{,}013^n \times 0{,}013}{1{,}013^n - 1} \le 400$

O primeiro passo para simplificar essa expressão é multiplicar os valores numéricos no numerador. Multiplicando $5000$ por $0{,}013$, obtemos:

$5000 \times 0{,}013 = 65$

Substituindo esse valor de volta na inequação:

$\frac{65 \times 1{,}013^n}{1{,}013^n - 1} \le 400$

Como o número de parcelas $n$ é positivo, o termo $1{,}013^n - 1$ será maior que zero. Portanto, podemos multiplicar ambos os lados da inequação por esse termo sem alterar o sinal da desigualdade:

$65 \times 1{,}013^n \le 400 \times (1{,}013^n - 1)$

Aplicando a propriedade distributiva no lado direito:

$65 \times 1{,}013^n \le 400 \times 1{,}013^n - 400$

Agora, vamos isolar os termos que contêm $1{,}013^n$ em um dos lados da inequação. Para isso, somamos $400$ de ambos os lados e subtraímos $65 \times 1{,}013^n$:

$400 \le 400 \times 1{,}013^n - 65 \times 1{,}013^n$

Colocando $1{,}013^n$ em evidência no lado direito:

$400 \le (400 - 65) \times 1{,}013^n$ $400 \le 335 \times 1{,}013^n$

Dividindo ambos os lados por $335$, chegamos a:

$\frac{400}{335} \le 1{,}013^n$

Para resolver uma inequação onde a incógnita está no expoente, utilizamos logaritmos. Aplicando o logaritmo na base $10$ em ambos os lados:

$\log\left(\frac{400}{335}\right) \le \log(1{,}013^n)$

Utilizando as propriedades dos logaritmos, sabemos que o logaritmo de um quociente é a diferença dos logaritmos ($\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b$) e que o expoente pode "tombar" multiplicando o logaritmo ($\log(a^b) = b \cdot \log a$). Aplicando essas propriedades:

$\log 400 - \log 335 \le n \cdot \log 1{,}013$

O enunciado nos forneceu as aproximações para esses logaritmos. Substituindo os valores dados ($\log 400 \approx 2{,}602$, $\log 335 \approx 2{,}525$ e $\log 1{,}013 \approx 0{,}005$):

$2{,}602 - 2{,}525 \le n \cdot 0{,}005$ $0{,}077 \le n \cdot 0{,}005$

Para encontrar $n$, dividimos ambos os lados por $0{,}005$:

$n \ge \frac{0{,}077}{0{,}005}$

Multiplicando o numerador e o denominador por $1000$ para eliminar as casas decimais:

$n \ge \frac{77}{5}$ $n \ge 15{,}4$

Como o número de parcelas $n$ deve ser um número inteiro, o menor valor inteiro que satisfaz a condição $n \ge 15{,}4$ é $16$.

Portanto, o menor número de parcelas para que a prestação não comprometa o limite de \text{R}\ \ 400{,}00$é$16$.