Questão 143 do ENEM 2016 — Matemática

O enunciado pede um terreno retangular (Figura A) com a mesma área de um terreno de formato irregular (Figura B). A estratégia, então, é em dois passos: primeiro descobrir a área da Figura B; depois, usar essa área para encontrar as dimensões do retângulo.

Passo 1 — Área do terreno irregular (Figura B)

A Figura B tem contorno em formato de triângulo, com as medidas indicadas na figura: um cateto vertical de $15\text{ m}$, a base de $15\text{ m}$, o lado inclinado (hipotenusa) de $21\text{ m}$ e um pequeno segmento de $3\text{ m}$ junto ao vértice inferior direito, onde há a marca de ângulo reto.

Uma forma prática de calcular essa área é decompor a figura em dois triângulos retângulos traçando uma diagonal interna:

1. Triângulo maior: com os dois catetos de $15\text{ m}$ (o lado vertical e a base).
2. Triângulo menor: com catetos de $21\text{ m}$ e $3\text{ m}$.

Podemos até checar que essa decomposição é coerente: a diagonal comum aos dois triângulos teria o mesmo comprimento nos dois casos, pois $\sqrt{15^2 + 15^2} = \sqrt{450}$ e $\sqrt{21^2 + 3^2} = \sqrt{441 + 9} = \sqrt{450}$.

A área de um triângulo retângulo é a metade do produto dos catetos:

$A_1 = \frac{15 \cdot 15}{2} = \frac{225}{2} = 112,5\text{ m}^2$

$A_2 = \frac{21 \cdot 3}{2} = \frac{63}{2} = 31,5\text{ m}^2$

Somando, a área total da Figura B é:

$A_{\text{total}} = 112,5 + 31,5 = 144\text{ m}^2$

Passo 2 — Dimensões do terreno retangular (Figura A)

A Figura A é um retângulo cuja largura vale $x$ e cujo comprimento vale $x + 7$ (medidas indicadas na figura). Sua área deve valer os mesmos $144\text{ m}^2$:

$x \cdot (x + 7) = 144$

Aplicando a distributiva, chegamos a uma equação do segundo grau:

$x^2 + 7x - 144 = 0$

Usando a fórmula de Bhaskara, calculamos o discriminante:

$\Delta = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 49 + 576 = 625$

Então:

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{-7 \pm 25}{2}$

Isso dá duas raízes:

$x_1 = \frac{-7 + 25}{2} = 9 \qquad x_2 = \frac{-7 - 25}{2} = -16$

Como $x$ é uma medida de comprimento, não pode ser negativo. Logo, $x = 9\text{ m}$, e o comprimento é $x + 7 = 16\text{ m}$.

Conclusão

As medidas do comprimento e da largura são, respectivamente, $16,0\text{ m}$ e $9,0\text{ m}$ — o que corresponde à alternativa B (largura $9,0$ e comprimento $16,0$).