Questão 158 do ENEM 2022 — Matemática

O objetivo é escolher duas modificações de modo que o comprimento final da pista fique o mais próximo possível do comprimento original. A ideia é calcular, para cada setor, a variação de comprimento ($\Delta L$) que a modificação provocaria e depois somar as variações da dupla escolhida. A melhor dupla é aquela cuja soma fica mais perto de zero.

Para cada setor: $\Delta L = L_{\text{novo}} - L_{\text{original}}$. Usamos a aproximação $\pi = 3$ dada no enunciado. As medidas de cada setor são as indicadas na figura.

Setor I O traçado original faz um desvio com dois trechos horizontais de $50\ \text{m}$ (ida e volta) mais o trecho vertical de comprimento $x$; o novo traçado é apenas a reta vertical de comprimento $x$ que corta o desvio.

• Original: $50 + x + 50 = 100 + x$
• Novo: $x$
• $\Delta L_I = x - (100 + x) = -100\ \text{m}$

Setor II O traçado original é formado por dois segmentos em ângulo reto, de $300\ \text{m}$ e $400\ \text{m}$; o novo é a hipotenusa desse triângulo retângulo.

• Original: $300 + 400 = 700\ \text{m}$
• Novo (Pitágoras, terno $3$-$4$-$5$): $\sqrt{300^2 + 400^2} = 500\ \text{m}$
• $\Delta L_{II} = 500 - 700 = -200\ \text{m}$

Setor III O traçado original é um segmento de reta de $480\ \text{m}$; o novo é uma semicircunferência que tem esse segmento como diâmetro, logo raio $R = 240\ \text{m}$.

• Original: $480\ \text{m}$
• Novo: $\pi \cdot R = 3 \cdot 240 = 720\ \text{m}$
• $\Delta L_{III} = 720 - 480 = +240\ \text{m}$

Setor IV Aqui é o inverso do III: o original é uma semicircunferência de diâmetro $360\ \text{m}$ (raio $R = 180\ \text{m}$) e o novo é o segmento reto de $360\ \text{m}$.

• Original: $\pi \cdot R = 3 \cdot 180 = 540\ \text{m}$
• Novo: $360\ \text{m}$
• $\Delta L_{IV} = 360 - 540 = -180\ \text{m}$

Setor V O traçado original é um segmento de reta de $200\ \text{m}$; o novo forma um triângulo com dois ângulos de $60^\circ$ na base. O terceiro ângulo vale $180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$, ou seja, é um triângulo equilátero. Assim, cada novo lado também mede $200\ \text{m}$.

• Original: $200\ \text{m}$
• Novo: $200 + 200 = 400\ \text{m}$
• $\Delta L_V = 400 - 200 = +200\ \text{m}$

Escolhendo a melhor dupla Resumindo as variações:

• $\Delta L_I = -100\ \text{m}$
• $\Delta L_{II} = -200\ \text{m}$
• $\Delta L_{III} = +240\ \text{m}$
• $\Delta L_{IV} = -180\ \text{m}$
• $\Delta L_V = +200\ \text{m}$

Queremos a soma de duas variações mais próxima de zero. O Setor II encurta a pista em $200\ \text{m}$ e o Setor V a alonga em exatamente $200\ \text{m}$. Somando:

$(-200) + (+200) = 0$

Essa combinação mantém a extensão exatamente igual à original — nenhuma outra dupla chega tão perto de zero. Portanto, os setores que devem ser modificados são II e V, o que corresponde à alternativa C.