Questão 170 do ENEM 2013 — Matemática

Entendendo o Problema

O problema descreve a rotina de um corredor cujo treino diário aumenta de forma constante. O chip armazena a distância total percorrida ao longo dos dias, e queremos saber por quantos dias o chip consegue registrar essa quilometragem acumulada sem ultrapassar seu limite de $9,5 \text{ km}$.

Identificando a Progressão Aritmética

Como a distância percorrida aumenta em uma quantidade fixa por dia, estamos lidando com uma Progressão Aritmética (P.A.).

• O primeiro termo ($a_1$) é a distância do primeiro dia: $a_1 = 300 \text{ m}$.
• A razão ($r$) é o aumento diário: $r = 200 \text{ m}$.
• A capacidade máxima do chip é de $9,5 \text{ km}$, que equivale a $9500 \text{ m}$.

A distância percorrida no enésimo dia ($a_n$) é dada pela fórmula do termo geral da P.A.: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$ $a_n = 300 + (n - 1) \cdot 200$ $a_n = 300 + 200n - 200$ $a_n = 200n + 100$

Calculando a Distância Acumulada

O chip armazena a soma de todas as distâncias diárias. Para encontrar a distância total após $n$ dias, usamos a fórmula da soma dos termos de uma P.A.: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Substituindo os valores que já conhecemos: $S_n = \frac{(300 + 200n + 100) \cdot n}{2}$ $S_n = \frac{(400 + 200n) \cdot n}{2}$ $S_n = (200 + 100n) \cdot n$ $S_n = 100n^2 + 200n$

Encontrando o Número de Dias

Sabemos que a soma total $S_n$ não pode ultrapassar $9500 \text{ m}$. Assim, montamos a seguinte inequação: $100n^2 + 200n \le 9500$

Para simplificar, podemos dividir toda a inequação por $100$: $n^2 + 2n \le 95$

Agora, precisamos encontrar o maior número inteiro $n$ (já que $n$ representa o número de dias) que satisfaça essa condição. Uma maneira muito eficiente de fazer isso no ENEM é testar as alternativas fornecidas:

• Para $n = 7$: $7^2 + 2 \cdot 7 = 49 + 14 = 63 \le 95$ (O chip ainda tem espaço)

• Para $n = 8$: $8^2 + 2 \cdot 8 = 64 + 16 = 80 \le 95$ (O chip ainda tem espaço)

• Para $n = 9$: $9^2 + 2 \cdot 9 = 81 + 18 = 99 \not\le 95$ (Ultrapassou o limite de $95$)

Como com $9$ dias a distância total ultrapassa a capacidade do chip, o atleta poderá utilizá-lo por, no máximo, $8$ dias consecutivos.

Portanto, a alternativa correta é a B.