Questão 163 do ENEM 2010 — Matemática

ENEM 2010Matemática2ª aplicação

Para verificar e analisar o grau de eficiência de um teste que poderia ajudar no retrocesso de uma doença numa comunidade, uma equipe de biólogos aplicou-o em um grupo de 500 ratos, para detectar a presença dessa doença. Porém, o teste não é totalmente eficaz, podendo existir ratos saudáveis com resultado positivo e ratos doentes com resultado negativo. Sabe-se, ainda, que 100 ratos possuem a doença, 20 ratos são saudáveis com resultado positivo e 40 ratos são doentes com resultado negativo.

Um rato foi escolhido ao acaso, e verificou-se que o seu resultado deu negativo. A probabilidade de esse rato ser saudável é
A
$\frac{1}{5}$
B
$\frac{4}{5}$
$\frac{19}{21}$
Resposta correta
D
$\frac{19}{25}$
E
$\frac{21}{25}$
Gabarito oficial: alternativa C

Resolução comentada

Organizando os dados

Para resolver essa questão de probabilidade condicional, o primeiro passo é organizar as informações fornecidas no enunciado. Sabemos que o total de ratos é 500500. Desses, 100100 possuem a doença. Logo, podemos concluir que o número de ratos saudáveis é a diferença entre o total e os doentes:

500−100=400 ratos saudaˊveis500 - 100 = 400 \text{ ratos saudáveis}

O enunciado também nos dá informações sobre os resultados dos testes:

  • Existem 2020 ratos saudáveis com resultado positivo.
  • Existem 4040 ratos doentes com resultado negativo.

Como queremos saber a probabilidade relacionada aos ratos que tiveram resultado negativo, precisamos descobrir o total de ratos com esse resultado específico.

Analisando os resultados negativos

Os ratos com resultado negativo podem ser doentes ou saudáveis. Já sabemos pelo enunciado que 4040 ratos doentes tiveram resultado negativo. Mas e os saudáveis?

Se há 400400 ratos saudáveis no total e 2020 deles tiveram resultado positivo, o restante obrigatoriamente teve resultado negativo. Assim, o número de ratos saudáveis com resultado negativo é:

400−20=380 ratos saudaˊveis com resultado negativo400 - 20 = 380 \text{ ratos saudáveis com resultado negativo}

Agora, podemos somar esses valores para encontrar o total de ratos que testaram negativo no experimento:

40 (doentes)+380 (saudaˊveis)=420 ratos com resultado negativo40 \text{ (doentes)} + 380 \text{ (saudáveis)} = 420 \text{ ratos com resultado negativo}

Calculando a probabilidade

A questão pede a probabilidade de o rato ser saudável, sabendo que o seu resultado deu negativo. Isso é o que chamamos de probabilidade condicional. O nosso "novo universo" (ou espaço amostral restrito) passa a ser apenas os ratos que testaram negativo, ou seja, 420420 ratos.

Dentre esses 420420 ratos, os casos que nos interessam (ratos saudáveis) são 380380. A probabilidade PP é a razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos possíveis no nosso espaço amostral restrito:

P=380420P = \frac{380}{420}

Simplificando a fração, podemos primeiro cortar os zeros (dividindo por 1010) e, em seguida, dividir o numerador e o denominador por 22:

P=3842=1921P = \frac{38}{42} = \frac{19}{21}

Portanto, a probabilidade de o rato escolhido ser saudável, dado que o teste foi negativo, é 1921\frac{19}{21}.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2010 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.