Questão 147 do ENEM 2010 — Matemática

Para que Paula faça o trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento, ela deve escolher o caminho com a maior probabilidade de estar livre (sem engarrafamento em nenhuma das duas vias).

A probabilidade de uma via estar livre é o evento complementar de estar engarrafada, ou seja, $1 - P(\text{engarrafamento})$. Como o que acontece em cada via é independente, a probabilidade de o trajeto inteiro estar livre é o produto das probabilidades de cada via estar livre.

Segundo o grafo da Figura I, os trajetos de $A$ até $B$ que usam exatamente duas vias e compartilham uma cidade intermediária são:

• Passando por $C$: $E_1E_3$ ou $E_1E_4$
• Passando por $D$: $E_2E_5$ ou $E_2E_6$

Usando as probabilidades de engarrafamento indicadas na Figura II ($E_1 = 0,8$; $E_3 = 0,5$; $E_4 = 0,3$; $E_2 = 0,7$; $E_5 = 0,4$; $E_6 = 0,6$), calculamos a probabilidade de cada trajeto estar livre:

Trajetos passando por C

• $E_1E_3$: livre $= (1 - 0,8)\cdot(1 - 0,5) = 0,2 \cdot 0,5 = 0,10$
• $E_1E_4$: livre $= (1 - 0,8)\cdot(1 - 0,3) = 0,2 \cdot 0,7 = 0,14$

Trajetos passando por D

• $E_2E_5$: livre $= (1 - 0,7)\cdot(1 - 0,4) = 0,3 \cdot 0,6 = 0,18$
• $E_2E_6$: livre $= (1 - 0,7)\cdot(1 - 0,6) = 0,3 \cdot 0,4 = 0,12$

Conclusão

Comparando os resultados, o maior valor é $0,18$, do trajeto $E_2E_5$. Como maior probabilidade de estar livre equivale a menor probabilidade de engarrafamento, o melhor trajeto para Paula é o $E_2E_5$, alternativa D.