Questão 156 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolver esse problema, precisamos primeiro descobrir quantas senhas possíveis existem com as condições dadas e, em seguida, calcular a probabilidade de Paulo acertar a senha em até quatro tentativas.

Total de senhas possíveis

A palavra DETETIVE possui $8$ letras no total. Vamos contar a frequência de cada uma delas:

• D: $1$ vez
• E: $3$ vezes
• T: $2$ vezes
• I: $1$ vez
• V: $1$ vez

O enunciado nos diz que Paulo lembra que a senha começa com a letra D. Sendo assim, a primeira posição da senha já está fixada. Restam $7$ posições para serem preenchidas com as $7$ letras restantes: E, E, E, T, T, I, V.

Como temos letras repetidas, precisamos usar o conceito de permutação com repetição. A fórmula para calcular o número de permutações de $n$ elementos, onde alguns se repetem $a$ e $b$ vezes, é:

$P_n^{a, b} = \frac{n!}{a! \cdot b!}$

Aplicando os nossos valores ($n = 7$ letras restantes, com a letra E se repetindo $3$ vezes e a letra T se repetindo $2$ vezes):

$P_7^{3, 2} = \frac{7!}{3! \cdot 2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1}$

Podemos simplificar o $3!$ do numerador com o do denominador:

$P_7^{3, 2} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{2} = \frac{840}{2} = 420$

Portanto, existem $420$ combinações possíveis para a senha de Paulo.

Cálculo da probabilidade

Paulo tem o direito de fazer até $4$ tentativas sem repetir nenhuma combinação. Como apenas $1$ dessas $420$ combinações é a senha correta, a chance de ele acertar em qualquer uma de suas tentativas é de $1$ em $420$.

Como ele fará $4$ tentativas distintas, a probabilidade total de ele encontrar a senha correta (seja na primeira, na segunda, na terceira ou na quarta tentativa) é a soma das probabilidades de cada tentativa individual, ou de forma mais direta, a razão entre o número de tentativas que ele vai fazer e o número total de possibilidades:

$P = \frac{4}{420}$

Simplificando a fração por $4$:

$P = \frac{4 \div 4}{420 \div 4} = \frac{1}{105}$

Assim, a probabilidade de Paulo acessar sua conta sem bloqueá-la é de $\frac{1}{105}$.