Questão 174 do ENEM 2022 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender que o processo de derretimento conserva o volume do material. Isso significa que o volume total da peça cilíndrica será totalmente utilizado para formar as esferas. Portanto, para descobrir a quantidade de esferas que podem ser produzidas, basta calcular o volume do cilindro e dividi-lo pelo volume de uma única esfera.

Volume da Peça Cilíndrica

O volume de um cilindro é calculado multiplicando a área de sua base pela sua altura. A fórmula é:

$V_{\text{cilindro}} = \pi \cdot R^2 \cdot H$

De acordo com o enunciado, o raio da base do cilindro é $R = 4 \text{ cm}$ e a altura é $H = 50 \text{ cm}$. Substituindo esses valores na fórmula, temos:

$V_{\text{cilindro}} = \pi \cdot 4^2 \cdot 50$ $V_{\text{cilindro}} = \pi \cdot 16 \cdot 50$ $V_{\text{cilindro}} = 800\pi \text{ cm}^3$

Deixe o $\pi$ indicado, pois ele será simplificado mais adiante.

Volume da Esfera

Agora, vamos calcular o volume de cada esfera que será produzida. A fórmula do volume da esfera é:

$V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$

O enunciado nos diz que o diâmetro da esfera é de $1 \text{ cm}$. Como o raio é a metade do diâmetro, temos $r = 0,5 \text{ cm}$. Para facilitar os cálculos, é muito útil escrever esse valor em forma de fração: $r = \frac{1}{2} \text{ cm}$.

Substituindo o raio na fórmula do volume:

$V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3$ $V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot \frac{1}{8}$

Multiplicando as frações e simplificando:

$V_{\text{esfera}} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6} \text{ cm}^3$

Quantidade de Esferas Produzidas

Para encontrar o número total de esferas ($n$), dividimos o volume total disponível (o volume do cilindro) pelo volume de uma esfera:

$n = \frac{V_{\text{cilindro}}}{V_{\text{esfera}}}$ $n = \frac{800\pi}{\frac{\pi}{6}}$

Na divisão de frações, repetimos a primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda. Além disso, podemos cancelar o $\pi$ que aparece tanto no numerador quanto no denominador:

$n = 800\pi \cdot \frac{6}{\pi}$ $n = 800 \cdot 6$ $n = 4800$

Portanto, a partir de cada peça cilíndrica, poderão ser obtidas $4800$ esferas.