Questão 145 do ENEM 2011 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos entender o conceito de divisão em partes inversamente proporcionais. Quando dividimos uma quantia de forma inversamente proporcional a determinados valores, significa que quem tem o menor valor associado (neste caso, a menor idade) receberá a maior parte, e quem tem o maior valor receberá a menor parte.

Matematicamente, se as quantias que Ana, Renato e Carlos vão receber são, respectivamente, $A$, $R$ e $C$, o produto da quantia recebida pela idade de cada um deve ser igual a uma mesma constante de proporcionalidade, que chamaremos de $k$. Assim, podemos escrever:

$A \cdot 4 = k \implies A = \frac{k}{4}$ $R \cdot 5 = k \implies R = \frac{k}{5}$ $C \cdot 20 = k \implies C = \frac{k}{20}$

Sabemos também que a soma das partes de cada filho deve resultar no valor total do prêmio, que é de R$ 360.000,00. Portanto, montamos a seguinte equação:

$A + R + C = 360000$

Substituindo as expressões que encontramos em função da constante $k$:

$\frac{k}{4} + \frac{k}{5} + \frac{k}{20} = 360000$

Para somar essas frações, precisamos encontrar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos denominadores $4$, $5$ e $20$. Como $20$ é múltiplo tanto de $4$ quanto de $5$, o MMC é o próprio $20$. Ajustando as frações para o mesmo denominador, temos:

$\frac{5k}{20} + \frac{4k}{20} + \frac{1k}{20} = 360000$

Somando os numeradores:

$\frac{10k}{20} = 360000$

Simplificando a fração $\frac{10}{20}$ para $\frac{1}{2}$:

$\frac{k}{2} = 360000$

Multiplicando ambos os lados por $2$, encontramos o valor da constante $k$:

$k = 720000$

Agora que temos o valor de $k$, podemos calcular exatamente quanto cada filho vai receber substituindo esse valor nas equações iniciais:

• Ana: $A = \frac{720000}{4} = 180000$
• Renato: $R = \frac{720000}{5} = 144000$
• Carlos: $C = \frac{720000}{20} = 36000$

Portanto, Ana receberá R$ 180.000,00, Renato receberá R$ 144.000,00 e Carlos receberá R$ 36.000,00.

Analisando as alternativas, a que apresenta esses valores na ordem correta é a alternativa D.