Questão 173 do ENEM 2020 — Matemática

ENEM 2020Matemática1ª aplicação

Pergolado é o nome que se dá a um tipo de cobertura projetada por arquitetos, comumente em praças e jardins, para criar um ambiente para pessoas ou plantas, no qual há uma quebra da quantidade de luz, dependendo da posição do sol. É feito como um estrado de vigas iguais, postas paralelas e perfeitamente em fila, como ilustra a figura.

Um arquiteto projeta um pergolado com vãos de 30 cm de distância entre suas vigas, de modo que, no solstício de verão, a trajetória do sol durante o dia seja realizada num plano perpendicular à direção das vigas, e que o sol da tarde, no momento em que seus raios fizerem 30° com a posição a pino, gere a metade da luz que passa no pergolado ao meio-dia.

Para atender à proposta do projeto elaborado pelo arquiteto, as vigas do pergolado devem ser construídas de maneira que a altura, em centímetro, seja a mais próxima possível de
A
9.
B
15.
26.
Resposta correta
D
52.
E
60.
Gabarito oficial: alternativa C

Resolução comentada

Para resolver essa questão, precisamos traduzir as informações do enunciado para um modelo geométrico simples. Vamos analisar o que acontece com a luz do sol e as sombras das vigas.

Primeiro, o enunciado nos diz que ao meio-dia o sol está "a pino", ou seja, exatamente na vertical. Nesse momento, a luz passa por todo o vão entre as vigas, que mede 30 cm30 \text{ cm}.

No período da tarde, os raios solares se inclinam e passam a fazer um ângulo de 30∘30^\circ com a posição a pino (a vertical). O arquiteto deseja que, nesse momento, a quantidade de luz que passa seja a metade da luz do meio-dia. Se ao meio-dia a luz ilumina os 30 cm30 \text{ cm} do vão, a metade dessa luz corresponde a iluminar apenas 15 cm15 \text{ cm}. Consequentemente, a sombra projetada pela viga vizinha deve cobrir a outra metade do vão, ou seja, a sombra deve ter exatamente 15 cm15 \text{ cm} de comprimento.

Agora, podemos visualizar a situação como um triângulo retângulo formado por três elementos:

  • A altura da viga, que chamaremos de hh (nosso cateto adjacente ao ângulo).
  • O comprimento da sombra projetada no chão, que é de 15 cm15 \text{ cm} (nosso cateto oposto ao ângulo).
  • O raio de sol, que atua como a hipotenusa.

O ângulo formado entre o raio de sol e a viga (a vertical) é de 30∘30^\circ. Para relacionar a altura da viga (hh), a sombra (15 cm15 \text{ cm}) e o ângulo (30∘30^\circ), utilizamos a relação trigonométrica da tangente, que é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente:

tan⁡(30∘)=cateto opostocateto adjacente\tan(30^\circ) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}

Substituindo os valores que conhecemos:

tan⁡(30∘)=15h\tan(30^\circ) = \frac{15}{h}

Sabemos da trigonometria básica que tan⁡(30∘)=33\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}. Assim, podemos montar a equação:

33=15h\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{15}{h}

Multiplicando cruzado para isolar o hh:

h⋅3=15⋅3h \cdot \sqrt{3} = 15 \cdot 3 h⋅3=45h \cdot \sqrt{3} = 45 h=453h = \frac{45}{\sqrt{3}}

Para simplificar, racionalizamos o denominador multiplicando o numerador e o denominador por 3\sqrt{3}:

h=45⋅33⋅3=4533=153h = \frac{45 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{45\sqrt{3}}{3} = 15\sqrt{3}

Como a questão pede o valor mais próximo em centímetros, precisamos usar uma aproximação para a raiz quadrada de 33. Sabemos que 3≈1,73\sqrt{3} \approx 1,73. Substituindo esse valor na nossa expressão:

h≈15⋅1,73h \approx 15 \cdot 1,73 h≈25,95 cmh \approx 25,95 \text{ cm}

O valor encontrado é muito próximo de 26 cm26 \text{ cm}, o que nos indica a alternativa correta.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2020 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.