Questão 163 do ENEM 2014 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender como a população de bactérias cresce ao longo do tempo. O enunciado nos diz que a quantidade de bactérias dobra a cada quarto de hora. Isso caracteriza um crescimento exponencial, onde a quantidade inicial é multiplicada por $2$ a cada intervalo de tempo especificado.

Vamos organizar as informações que temos:

• População inicial ($P_0$): $10^5$ bactérias.
• Fator de crescimento: $2$ (pois a população duplica).
• Tempo de duplicação: $\frac{1}{4}$ de hora (ou seja, $15$ minutos).
• Tempo total de observação: $1$ hora.

O primeiro passo é descobrir quantas vezes a população de bactérias vai duplicar dentro desse período de $1$ hora. Como cada duplicação ocorre a cada quarto de hora, podemos dividir o tempo total pelo tempo de duplicação: $\text{Número de duplicações} = \frac{1 \text{ hora}}{\frac{1}{4} \text{ de hora}} = 4$

Isso significa que, ao longo de $1$ hora, a população de bactérias dobrará $4$ vezes.

Agora, vamos aplicar esse crescimento à população inicial. A cada duplicação, multiplicamos a quantidade de bactérias por $2$:

• No início: $10^5$
• Após o 1º quarto de hora: $10^5 \cdot 2$
• Após o 2º quarto de hora: $10^5 \cdot 2^2$
• Após o 3º quarto de hora: $10^5 \cdot 2^3$
• Após o 4º quarto de hora ($1$ hora): $10^5 \cdot 2^4$

Podemos expressar isso de forma mais direta usando a fórmula do crescimento exponencial (ou o termo geral de uma progressão geométrica): $P = P_0 \cdot 2^n$ Onde $n$ é o número de duplicações. Substituindo os valores que encontramos: $P = 10^5 \cdot 2^4$

Reorganizando a expressão, temos $2^4 \cdot 10^5$.

Analisando as alternativas fornecidas, a que corresponde exatamente ao nosso resultado é a alternativa E.