Questão 178 do ENEM 2017 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos determinar qual plano de internet oferece o menor custo total para cada um dos três consumidores ($X$, $Y$ e $Z$), baseando-nos em seus respectivos consumos mensais.

O custo total de um plano é composto por um valor fixo (a assinatura mensal) e, caso o consumo ultrapasse a franquia contratada, um valor variável cobrado por cada megabyte ($\text{MB}$) excedente. Podemos expressar isso da seguinte forma:

• Se o consumo for menor ou igual à franquia: $\text{Custo} = \text{Preço Fixo}$
• Se o consumo for maior que a franquia: $\text{Custo} = \text{Preço Fixo} + (\text{Consumo} - \text{Franquia}) \times \text{Preço por MB excedente}$

Vamos analisar o caso de cada consumidor individualmente.

Consumidor X (Consumo de $190\text{ MB}$)

O consumidor $X$ utiliza $190\text{ MB}$. Vamos calcular o custo nos planos mais baratos para ver qual compensa mais:

• Plano A: A franquia é de $150\text{ MB}$, então ele excederá $190 - 150 = 40\text{ MB}$. O custo será o valor fixo mais o excedente: $C_A = 29,90 + (40 \times 0,40) = 29,90 + 16,00 = \text{R\$ } 45,90$
• Plano B: A franquia é de $250\text{ MB}$. Como $190\text{ MB}$ está dentro desse limite, ele pagará apenas o valor fixo: $C_B = \text{R\$ } 34,90$

Como os planos $C$, $D$ e $E$ já possuem valores fixos superiores a \text{R\ } 34,90$, não precisamos nem calculá-los. A melhor escolha para o consumidor$X$ é o Plano B.

Consumidor Y (Consumo de $450\text{ MB}$)

O consumidor $Y$ utiliza $450\text{ MB}$. Vamos testar os planos viáveis:

• Plano B: A franquia é de $250\text{ MB}$, gerando um excedente de $450 - 250 = 200\text{ MB}$. O custo será: $C_B = 34,90 + (200 \times 0,10) = 34,90 + 20,00 = \text{R\$ } 54,90$
• Plano C: A franquia é de $500\text{ MB}$, o que cobre totalmente o consumo de $Y$. Ele pagará apenas o valor fixo: $C_C = \text{R\$ } 59,90$

O Plano A seria muito mais caro devido à alta taxa de excedente (\text{R\ } 0,40$por$\text{MB}$), e os planos$D$e$E$têm assinaturas mais caras que$\text{R$ } 54,90$. Logo, a melhor escolha para o consumidor$Y$ também é o Plano B.

Consumidor Z (Consumo de $890\text{ MB}$)

O consumidor $Z$ tem um consumo mais alto, de $890\text{ MB}$. Vamos avaliar os planos que podem ser vantajosos:

• Plano B: O excedente será de $890 - 250 = 640\text{ MB}$. O custo total será: $C_B = 34,90 + (640 \times 0,10) = 34,90 + 64,00 = \text{R\$ } 98,90$
• Plano C: O excedente será de $890 - 500 = 390\text{ MB}$. O custo total será: $C_C = 59,90 + (390 \times 0,10) = 59,90 + 39,00 = \text{R\$ } 98,90$
• Plano D: A franquia é de $2\text{ GB}$. Como $1\text{ GB} = 1024\text{ MB}$, a franquia é de $2048\text{ MB}$. O consumo de $890\text{ MB}$ está bem abaixo desse limite, então ele pagará apenas o valor fixo: $C_D = \text{R\$ } 89,90$

O Plano E tem um custo fixo de \text{R\ } 119,90$, que é superior ao do Plano D. Portanto, a melhor escolha para o consumidor$Z$ é o Plano D.

Conclusão

Analisando os menores custos, as escolhas ideais para os consumidores $X$, $Y$ e $Z$ são, respectivamente, os planos B, B e D.