Questão 166 do ENEM 2017 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos modelar a pressão arterial usando uma função trigonométrica do tipo $P(t) = A + B\cos(kt)$. Nosso objetivo é encontrar os valores das constantes $A$, $B$ e $k$ a partir dos dados fornecidos no enunciado.

Encontrando $A$ e $B$ (Média e Amplitude)

A função cosseno, $\cos(kt)$, varia sempre no intervalo entre $-1$ e $1$.

• Quando $\cos(kt) = 1$, a função atinge seu valor máximo: $P_{\text{máx}} = A + B(1) = A + B$.
• Quando $\cos(kt) = -1$, a função atinge seu valor mínimo: $P_{\text{mín}} = A + B(-1) = A - B$.

O enunciado nos diz que a pressão máxima é $120$ e a mínima é $78$. Com isso, podemos montar um sistema de equações: $A + B = 120$ $A - B = 78$

Somando as duas equações, eliminamos a variável $B$: $(A + B) + (A - B) = 120 + 78$ $2A = 198$ $A = \frac{198}{2} = 99$

Agora, substituímos o valor de $A$ na primeira equação para encontrar $B$: $99 + B = 120$ $B = 120 - 99 = 21$

Neste ponto, já sabemos que a função tem a forma $P(t) = 99 + 21\cos(kt)$. Isso já nos permite eliminar algumas alternativas, restando descobrir apenas o valor de $k$.

Encontrando $k$ (Período da Função)

O parâmetro $k$ está relacionado ao período $T$ da função trigonométrica pela fórmula: $T = \frac{2\pi}{k}$

O período $T$ é o tempo necessário para que um ciclo completo ocorra, ou seja, o tempo exato entre dois batimentos cardíacos (o intervalo entre duas pressões máximas).

O enunciado informa que ocorrem $90$ batimentos por minuto ($60$ segundos). Para descobrir o tempo de apenas um batimento, dividimos o tempo total pelo número de batimentos: $T = \frac{60 \text{ segundos}}{90 \text{ batimentos}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \text{ de segundo}$

Agora, igualamos esse valor à fórmula do período para encontrar $k$: $\frac{2}{3} = \frac{2\pi}{k}$

Multiplicando cruzado, temos: $2k = 3 \cdot 2\pi$ $2k = 6\pi$ $k = \frac{6\pi}{2} = 3\pi$

Conclusão

Substituindo todos os valores encontrados na estrutura inicial da função, obtemos o modelo matemático completo para a pressão arterial desse paciente: $P(t) = 99 + 21\cos(3\pi t)$

Analisando as opções fornecidas, essa função corresponde exatamente à alternativa A.