Questão 167 do ENEM 2020 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos analisar as opções de mesas com base em dois critérios principais estabelecidos pelo enunciado:

1. Capacidade: A mesa deve acomodar exatamente $6$ pessoas, garantindo que cada uma tenha pelo menos $60 \text{ cm}$ de espaço livre na borda.
2. Otimização: Dentre as mesas que cumprem o primeiro critério, devemos escolher a que possui a menor área.

Vamos analisar a capacidade de cada mesa verificando quantas pessoas cabem em cada lado (dividindo o comprimento do lado por $60 \text{ cm}$ e considerando apenas a parte inteira):

• Mesa I (Hexágono regular de lado $60 \text{ cm}$): Possui $6$ lados de $60 \text{ cm}$. Em cada lado cabe $1$ pessoa. Total: $6 \times 1 = 6$ pessoas. (Atende ao critério)
• Mesa II (Retângulo de $130 \text{ cm}$ por $60 \text{ cm}$): Nos dois lados maiores ($130 \text{ cm}$), cabem $2$ pessoas em cada ($130 \div 60 = 2,16...$). Nos dois lados menores ($60 \text{ cm}$), cabe $1$ pessoa em cada. Total: $2 + 2 + 1 + 1 = 6$ pessoas. (Atende ao critério)
• Mesa III (Retângulo de $120 \text{ cm}$ por $60 \text{ cm}$): Nos dois lados maiores ($120 \text{ cm}$), cabem exatamente $2$ pessoas em cada ($120 \div 60 = 2$). Nos dois lados menores ($60 \text{ cm}$), cabe $1$ pessoa em cada. Total: $2 + 2 + 1 + 1 = 6$ pessoas. (Atende ao critério)
• Mesa IV (Quadrado de lado $60 \text{ cm}$): Possui $4$ lados de $60 \text{ cm}$. Em cada lado cabe $1$ pessoa. Total: $4 \times 1 = 4$ pessoas. (Não atende ao critério, está descartada)
• Mesa V (Triângulo equilátero de lado $120 \text{ cm}$): Possui $3$ lados de $120 \text{ cm}$. Em cada lado cabem exatamente $2$ pessoas ($120 \div 60 = 2$). Total: $3 \times 2 = 6$ pessoas. (Atende ao critério)

Agora que sabemos quais mesas acomodam as $6$ pessoas (I, II, III e V), vamos calcular a área de cada uma para descobrir qual é a menor.

Área da Mesa I (Hexágono regular): Um hexágono regular é formado por $6$ triângulos equiláteros. A fórmula da área é $A = 6 \cdot \frac{l^2\sqrt{3}}{4}$. $A_I = 6 \cdot \frac{60^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{3600\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot 900\sqrt{3} = 5400\sqrt{3} \text{ cm}^2$

Área da Mesa II (Retângulo): A área do retângulo é base vezes altura. $A_{II} = 130 \cdot 60 = 7800 \text{ cm}^2$

Área da Mesa III (Retângulo): $A_{III} = 120 \cdot 60 = 7200 \text{ cm}^2$

Área da Mesa V (Triângulo equilátero): A fórmula da área do triângulo equilátero é $A = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}$. $A_V = \frac{120^2\sqrt{3}}{4} = \frac{14400\sqrt{3}}{4} = 3600\sqrt{3} \text{ cm}^2$

Para compararmos as áreas que possuem a raiz, podemos usar a aproximação $\sqrt{3} \approx 1,73$:

• $A_I \approx 5400 \cdot 1,73 = 9342 \text{ cm}^2$
• $A_V \approx 3600 \cdot 1,73 = 6228 \text{ cm}^2$

Comparando todas as áreas válidas ($9342 \text{ cm}^2$, $7800 \text{ cm}^2$, $7200 \text{ cm}^2$ e $6228 \text{ cm}^2$), fica claro que a Mesa V possui a menor área possível, atendendo perfeitamente a todos os critérios exigidos.