Questão 167 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolver essa questão precisamos comparar as características exigidas para o mosaico com o que cada figura mostra e escolher a que atende a todas elas. As condições do enunciado são:

1. Formato final do mosaico: deve ser um triângulo retângulo (ter um ângulo de $90^\circ$).
2. Quantidade de peças: exatamente três.
3. Duas das peças: triângulos retângulos congruentes (mesma forma e mesmo tamanho).
4. A terceira peça: um triângulo isósceles (dois ângulos e dois lados iguais).

Analisando o Mosaico 2

Na figura, o Mosaico 2 forma um triângulo grande cujos ângulos da base medem $60^\circ$ (à esquerda) e $30^\circ$ (à direita); o ângulo do vértice superior é composto por três ângulos de $30^\circ$ que, somados, dão $30^\circ + 30^\circ + 30^\circ = 90^\circ$. Como $60^\circ + 30^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ e há um ângulo reto, o formato final é de fato um triângulo retângulo — condição (1) satisfeita.

As duas peças de mesma cor (não quadriculadas) são triângulos com ângulos de $30^\circ$, $60^\circ$ e $90^\circ$, dispostas de modo a compartilhar um cateto de mesma medida; tendo os mesmos ângulos e um lado correspondente igual, são triângulos retângulos congruentes — condições (2) e (3) satisfeitas.

A terceira peça, o triângulo quadriculado, apresenta dois ângulos de $30^\circ$; por ter dois ângulos internos iguais, é um triângulo isósceles — condição (4) satisfeita.

Como o Mosaico 2 cumpre todas as exigências, a resposta é a alternativa B.

Por que os demais falham

• Mosaico 1: as peças não se combinam num único triângulo com o formato de triângulo retângulo pedido.
• Mosaico 3: a peça quadriculada tem ângulos de $46^\circ$ e $44^\circ$ (além do reto), todos diferentes — é um triângulo escaleno, não isósceles.
• Mosaico 4: o triângulo maior tem ângulos que não incluem um ângulo de $90^\circ$, logo o formato final não é um triângulo retângulo.
• Mosaico 5: o triângulo maior possui um ângulo de $120^\circ$ no vértice, sendo um triângulo obtusângulo (isósceles), e não retângulo.

Portanto, o único mosaico com todas as características desejadas é o 2.