Questão 176 do ENEM 2022 — Matemática

O objetivo é encontrar, sobre o eixo $x$ (a Rodovia 003), o ponto de conexão que torne a soma das distâncias até a Cidade A e até a Cidade B a menor possível.

Há dois caminhos: testar cada ponto com o Teorema de Pitágoras (trabalhoso) ou usar um recurso elegante de geometria chamado reflexão. Vamos pelo segundo.

O princípio da reflexão

A menor distância entre dois pontos é uma linha reta. Só que não podemos ligar A diretamente a B, pois o trajeto é obrigado a tocar a Rodovia 003 (o eixo $x$).

O truque é imaginar o eixo $x$ como um espelho. Refletindo a Cidade B para o outro lado do eixo, obtemos um ponto imaginário $B'$. A distância de qualquer ponto do eixo $x$ até $B$ é igual à distância desse mesmo ponto até $B'$. Logo, minimizar o percurso $A \rightarrow \text{eixo } x \rightarrow B$ equivale a minimizar $A \rightarrow \text{eixo } x \rightarrow B'$.

Como $A$ e $B'$ ficam em lados opostos do eixo, a menor distância entre eles é uma reta — e o ponto ideal de conexão é justamente onde essa reta cruza o eixo $x$.

Lendo as coordenadas no gráfico

Do gráfico do enunciado, temos:

• Cidade A: $(20,\ 40)$
• Cidade B: $(50,\ 20)$

Os pontos sugeridos I, II, III, IV e V estão marcados sobre o eixo $x$ nas abscissas $20$, $30$, $35$, $40$ e $50$, respectivamente.

Refletindo B em relação ao eixo $x$ (mantém-se o $x$, inverte-se o sinal de $y$):

• B' (refletido): $(50,\ -20)$

Onde a reta cruza o eixo x

Seja $P(x,\ 0)$ o ponto em que a reta $A \to B'$ corta o eixo $x$. Ela forma dois triângulos retângulos semelhantes (um acima, outro abaixo do eixo):

Triângulo ligado a A: altura $40$; base $x - 20$.

Triângulo ligado a B': altura $20$ (em módulo); base $50 - x$.

Pela semelhança, a razão das alturas iguala a razão das bases:

$\frac{40}{20} = \frac{x - 20}{50 - x}$

$2 = \frac{x - 20}{50 - x}$

Multiplicando cruzado:

$2\,(50 - x) = x - 20$ $100 - 2x = x - 20$ $120 = 3x$ $x = 40$

O ponto de conexão ideal tem abscissa $x = 40$, que no gráfico corresponde ao ponto IV. Portanto, a resposta é a alternativa D.