Questão 154 do ENEM 2020 — Matemática

Entendendo o problema

O pátio do museu corresponde à base menor do tronco de cone (a região cinza escrita "Pátio" na Figura 2). Como o pátio é circular, para achar sua área precisamos primeiro do seu raio.

Analisando a geometria

Fazendo um corte vertical pelo meio do tronco de cone (uma seção meridiana), obtemos um trapézio isósceles:

• a base maior vem do diâmetro da base maior do cone, $50\text{ m}$, logo o raio maior é $R = 25\text{ m}$;
• a altura do trapézio é a distância entre as bases, $h = 12\text{ m}$;
• a base menor é o diâmetro do pátio, cujo raio chamaremos de $r$.

Considerando o ângulo de $60^\circ$ indicado na Figura 2 entre a horizontal (no nível do pátio) e a geratriz (lateral) do tronco de cone, montamos um triângulo retângulo na extremidade do trapézio, baixando uma vertical da borda da base maior até o nível do pátio:

• cateto vertical = altura do tronco: $h = 12\text{ m}$;
• ângulo de $60^\circ$ entre a horizontal e a geratriz;
• cateto horizontal = quanto a borda maior avança em relação à menor: $x = R - r$.

Calculando o raio do pátio

O cateto de $12\text{ m}$ é o oposto ao ângulo de $60^\circ$ e $x$ é o adjacente, então usamos a tangente: $\tan(60^\circ) = \frac{12}{x} \quad\Rightarrow\quad \sqrt{3} = \frac{12}{x}$

Isolando $x$ e racionalizando: $x = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\text{ m}$

Usando a aproximação $\sqrt{3} \approx 1,7$ dada no enunciado: $x = 4 \cdot 1,7 = 6,8\text{ m}$

Como $x = R - r$: $6,8 = 25 - r \quad\Rightarrow\quad r = 25 - 6,8 = 18,2\text{ m}$

Calculando a área do pátio

A área do círculo do pátio é $A = \pi \cdot r^2$. Com $\pi \approx 3$: $A = 3 \cdot (18,2)^2 = 3 \cdot 331,24 = 993,72\text{ m}^2$

Conclusão

A área do pátio é aproximadamente $993,72\text{ m}^2$, valor que está dentro do intervalo $[900, 1\ 000]$. A alternativa correta é a D.