Questão 150 do ENEM 2015 — Matemática

O ponto de partida é entender o que o gerente quer: maximizar a quantidade de pães vendidos ($q$) ao mexer no preço ($p$), com uma condição importante — a arrecadação diária não pode ficar abaixo da média atual, que é de R$ 300,00.

Modelando a arrecadação

A arrecadação diária ($R$) é o total ganho com a venda dos pães: o preço de cada pão multiplicado pela quantidade vendida. $R = p \cdot q$

O enunciado dá a relação entre quantidade e preço: $q = 400 - 100p$. Substituindo na fórmula da arrecadação: $R(p) = p \cdot (400 - 100p) = 400p - 100p^2$

Aplicando a restrição

A arrecadação não pode cair abaixo de R$ 300,00, então deve ser maior ou igual a esse valor: $400p - 100p^2 \ge 300$

Reorganizando na forma padrão de uma inequação do 2º grau: $-100p^2 + 400p - 300 \ge 0$

Para simplificar, dividimos tudo por $-100$. Atenção à regra: ao dividir por um número negativo, o sinal da desigualdade se inverte. $p^2 - 4p + 3 \le 0$

Resolvendo a inequação

Primeiro achamos as raízes de $p^2 - 4p + 3 = 0$ pelo método da soma e produto:

• A soma das raízes é $4$ (oposto do coeficiente de $p$).
• O produto das raízes é $3$ (termo independente).

Os números que somam $4$ e multiplicam $3$ são $p_1 = 1$ e $p_2 = 3$.

Como $p^2 - 4p + 3$ é uma parábola com concavidade para cima (coeficiente de $p^2$ positivo), a expressão fica menor ou igual a zero entre as raízes. Logo, para manter a arrecadação em pelo menos R$ 300,00: $1 \le p \le 3$

Maximizando a quantidade vendida

O problema pede a maior quantidade $q$ possível. Observando a demanda: $q = 400 - 100p$

Como o preço aparece subtraído, quanto menor o preço $p$, maior a quantidade $q$ de pães vendidos. Dentro do intervalo permitido ($1 \le p \le 3$), o menor preço admissível é: $p = 1$

Conclusão

O preço ideal da promoção é R$ 1,00. Basta ver em qual intervalo esse valor se encaixa: ele está contido no intervalo da alternativa A, R$ 0,50 ≤ p < R$ 1,50.