Questão 168 do ENEM 2017 — Matemática

O melhor caminho aqui é modelar a abóbada da igreja com geometria analítica. Como o formato é parabólico, podemos representá-lo por uma função quadrática no plano cartesiano.

Montando o Plano Cartesiano

Vamos colocar o eixo de simetria da parábola sobre o eixo $y$ e o chão sobre o eixo $x$, de modo que a origem $(0,0)$ fique no centro da base da abóbada.

Modelando a abóbada como uma parábola a partir das medidas indicadas na Figura 2, temos:

1. A base se estende $5$ metros para cada lado do centro, então a parábola cruza o chão ($y = 0$) em $(-5, 0)$ e $(5, 0)$ — essas são as raízes.
2. A altura máxima é $H$, atingida no eixo de simetria, então o vértice é $(0, H)$.
3. A estrutura interna retangular tem meia-largura de $4$ metros e altura de $3$ metros, o que fornece um ponto pelo qual a parábola passa: $(4, 3)$.

Escrevendo a Função Quadrática

Como conhecemos as raízes, usamos a forma fatorada: $y = a(x - x_1)(x - x_2)$

Substituindo $x_1 = 5$ e $x_2 = -5$: $y = a(x - 5)(x + 5)$ $y = a(x^2 - 25)$

Encontrando o coeficiente $a$

Usamos o ponto $(4, 3)$, substituindo $x = 4$ e $y = 3$: $3 = a(4^2 - 25)$ $3 = a(16 - 25)$ $3 = a(-9)$ $a = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}$

O sinal negativo confirma que a concavidade está voltada para baixo, como esperado.

Calculando a altura máxima $H$

A equação completa é $y = -\frac{1}{3}(x^2 - 25)$. A altura máxima $H$ é o valor de $y$ no vértice, ou seja, quando $x = 0$: $H = -\frac{1}{3}(0^2 - 25)$ $H = -\frac{1}{3}(-25)$ $H = \frac{25}{3}$

Portanto, a altura $H$ mede $\frac{25}{3}$ metros, o que corresponde à alternativa D.