Questão 179 do ENEM 2013 — Matemática

A situação envolve duas hastes verticais fincadas no chão e uma terceira haste, também vertical, colocada no ponto de cruzamento de dois cabos esticados entre os topos das hastes. Conforme a figura, a haste $AC$ mede $4$ m e a haste $BD$ mede $6$ m, e queremos o comprimento da haste central $EF$.

Como as três hastes são perpendiculares ao solo (segmento $AB$), elas são paralelas entre si: $AC \parallel EF \parallel BD$. Sempre que temos linhas paralelas cortando triângulos, a ferramenta certa é a semelhança de triângulos.

Definindo as variáveis

Seja $h = EF$ a altura procurada e $d = AB$ o comprimento total da base. O ponto $F$ (pé da haste central) divide a base em dois trechos:

• $AF = x$
• $FB = y$

Como os dois trechos formam a base inteira: $x + y = d$

Semelhança do lado direito ($\triangle AFE \sim \triangle ABD$)

Como $EF \parallel BD$, o triângulo menor $\triangle AFE$ é semelhante ao maior $\triangle ABD$. Logo: $\frac{EF}{BD} = \frac{AF}{AB} \quad\Rightarrow\quad \frac{h}{6} = \frac{x}{d}$

Isolando $x$: $x = \frac{h \cdot d}{6}$

Semelhança do lado esquerdo ($\triangle FBE \sim \triangle ABC$)

Do mesmo modo, como $EF \parallel AC$: $\frac{EF}{AC} = \frac{FB}{AB} \quad\Rightarrow\quad \frac{h}{4} = \frac{y}{d}$

Isolando $y$: $y = \frac{h \cdot d}{4}$

Juntando tudo

Substituindo $x$ e $y$ na relação $x + y = d$: $\frac{h \cdot d}{6} + \frac{h \cdot d}{4} = d$

O fator $d$ aparece em todos os termos. Como $d \neq 0$, podemos dividir a equação por $d$, e ele desaparece — ou seja, a altura da haste central não depende da distância entre as hastes: $\frac{h}{6} + \frac{h}{4} = 1$

Colocando $h$ em evidência: $h \cdot \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{4} \right) = 1$

Usando o MMC de $6$ e $4$, que é $12$: $h \cdot \left( \frac{2}{12} + \frac{3}{12} \right) = 1 \quad\Rightarrow\quad h \cdot \frac{5}{12} = 1$

$h = \frac{12}{5} = 2,4 \text{ m}$

O comprimento da haste $EF$ deve ser de $2,4$ m — alternativa C.