Questão 153 do ENEM 2010 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos calcular a relação entre a área e a capacidade de armazenamento (volume) para cada um dos três tanques cilíndricos apresentados. O dono do posto escolherá o tanque que apresentar a menor relação.

Vamos primeiro organizar as fórmulas que usaremos para um cilindro de raio $R$ e comprimento $L$, adotando $\pi = 3$ conforme o enunciado:

• Volume (Capacidade): $V = \pi \cdot R^2 \cdot L$
• Área da Superfície Total: $A_t = 2\pi \cdot R \cdot L + 2\pi \cdot R^2$ (área lateral + área das duas bases)
• Área da Superfície Lateral: $A_l = 2\pi \cdot R \cdot L$

Um detalhe importante sobre essa questão (que é famosa no ENEM de 2010): o texto original falava em "área da superfície total", mas o gabarito foi construído usando apenas a "área da superfície lateral". Vamos calcular das duas formas para você entender o que aconteceu.

Calculando com a Área Total

Vamos determinar o volume e a área total de cada tanque:

Tanque I:

• Diâmetro = $4\text{ m} \implies$ Raio $R = 2\text{ m}$
• Comprimento $L = 6\text{ m}$
• Volume: $V = 3 \cdot 2^2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 \cdot 6 = 72\text{ m}^3$
• Área Total: $A_t = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 6 + 2 \cdot 3 \cdot 2^2 = 72 + 24 = 96\text{ m}^2$
• Relação $A_t / V = \frac{96}{72} = \frac{4}{3}$

Tanque II:

• Diâmetro = $4\text{ m} \implies$ Raio $R = 2\text{ m}$
• Comprimento $L = 8\text{ m}$
• Volume: $V = 3 \cdot 2^2 \cdot 8 = 3 \cdot 4 \cdot 8 = 96\text{ m}^3$
• Área Total: $A_t = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 8 + 2 \cdot 3 \cdot 2^2 = 96 + 24 = 120\text{ m}^2$
• Relação $A_t / V = \frac{120}{96} = \frac{5}{4}$

Tanque III:

• Diâmetro = $6\text{ m} \implies$ Raio $R = 3\text{ m}$
• Comprimento $L = 8\text{ m}$
• Volume: $V = 3 \cdot 3^2 \cdot 8 = 3 \cdot 9 \cdot 8 = 216\text{ m}^3$
• Área Total: $A_t = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 8 + 2 \cdot 3 \cdot 3^2 = 144 + 54 = 198\text{ m}^2$
• Relação $A_t / V = \frac{198}{216} = \frac{11}{12}$

Comparando as relações ($4/3 \approx 1,33$; $5/4 = 1,25$; $11/12 \approx 0,91$), o Tanque III tem a menor relação. Porém, a fração $11/12$ não aparece nas alternativas para o Tanque III! Curiosamente, a alternativa B traz o valor $4/3$, que é a relação da área total do Tanque I, mas ele não é o menor.

Calculando com a Área Lateral

Como não encontramos a resposta correta para o Tanque III, vamos verificar a relação usando apenas a área lateral ($A_l = 2\pi \cdot R \cdot L$):

Tanque I:

• Área Lateral: $A_l = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 6 = 72\text{ m}^2$
• Relação $A_l / V = \frac{72}{72} = 1$

Tanque II:

• Área Lateral: $A_l = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 8 = 96\text{ m}^2$
• Relação $A_l / V = \frac{96}{96} = 1$

Tanque III:

• Área Lateral: $A_l = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 8 = 144\text{ m}^2$
• Relação $A_l / V = \frac{144}{216}$
• Simplificando a fração por $72$, obtemos $\frac{2}{3}$.

Comparando as relações laterais ($1$, $1$ e $2/3$), o Tanque III continua sendo a melhor escolha, e agora a relação $2/3$ bate perfeitamente com a alternativa D.

Isso mostra que a banca elaboradora cometeu um equívoco na formulação da questão ao pedir a área total no enunciado original, mas calcular o gabarito usando a área lateral. Para fins de prova, a alternativa correta a ser marcada é a D.