Questão 154 do ENEM 2014 — Matemática

O objetivo é encontrar a área do triângulo $DEF$ pintado na figura. Considerando o triângulo equilátero $ABC$ de lado $1\text{ m}$, com $D$, $E$ e $F$ nos pontos médios dos lados (conforme a figura), podemos resolver de duas maneiras equivalentes.

O triângulo DEF

Ligando os pontos médios dos lados de um triângulo, o segmento que une dois pontos médios (base média) é paralelo ao terceiro lado e mede a metade dele. Assim, os três lados de $DEF$ valem metade de $1\text{ m}$, ou seja, $\frac{1}{2}\text{ m}$. Logo, $DEF$ também é equilátero, com lado $l=\frac{1}{2}\text{ m}$.

Método 1: fórmula da área do triângulo equilátero

Para um triângulo equilátero de lado $l$: $A = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}$

Substituindo $l=\frac{1}{2}$: $A_{DEF} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{1}{4}\cdot\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{16}\text{ m}^2$

Método 2: proporção de áreas

Ao ligar os três pontos médios, o triângulo $ABC$ fica dividido em $4$ triângulos menores congruentes, e $DEF$ é um deles. Basta então calcular a área de $ABC$ (lado $1$) e dividir por $4$: $A_{ABC} = \frac{1^2\cdot\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ $A_{DEF} = \frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{16}\text{ m}^2$

Os dois caminhos levam ao mesmo valor. A área pintada é $\frac{\sqrt{3}}{16}\text{ m}^2$, correspondente à alternativa B.