Questão 177 do ENEM 2013 — Matemática

O segredo aqui é enxergar cada figura em duas camadas separadas pela linha horizontal: uma parte de cima e uma parte de baixo. Cada uma cresce com seu próprio padrão, e o total é a soma das duas.

Parte superior

Olhando a região acima da linha, ela forma um arranjo triangular que aumenta a cada figura. Contando as fichas:

• 1ª figura: $1$ ficha
• 2ª figura: $3$ fichas ($1 + 2$)
• 3ª figura: $6$ fichas ($1 + 2 + 3$)
• 4ª figura: $10$ fichas ($1 + 2 + 3 + 4$)

Repare que a quantidade da parte superior na figura $n$ é a soma dos naturais de $1$ até $n$. Ou seja, cada nova figura acrescenta uma linha a mais na base do triângulo. Essa soma é a de uma Progressão Aritmética de razão $1$.

Para a 15ª figura, precisamos somar de $1$ até $15$. Usando a fórmula da soma dos termos de uma PA: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Substituindo $n = 15$: $S_{15} = \frac{(1 + 15) \cdot 15}{2} = \frac{16 \cdot 15}{2} = 8 \cdot 15 = 120$

Então a parte de cima da 15ª figura tem $120$ fichas.

Parte inferior

Agora a região abaixo da linha, que também cresce a cada figura:

• 1ª figura: $2$ fichas
• 2ª figura: $6$ fichas
• 3ª figura: $12$ fichas
• 4ª figura: $20$ fichas

Em vez de procurar uma fórmula nova, vale comparar com o que já achamos em cima:

• 1ª figura: cima $1$, baixo $2$
• 2ª figura: cima $3$, baixo $6$
• 3ª figura: cima $6$, baixo $12$
• 4ª figura: cima $10$, baixo $20$

O padrão salta aos olhos: a parte inferior é sempre o dobro da parte superior.

Como a parte de cima da 15ª figura tem $120$ fichas, a parte de baixo terá: $2 \cdot 120 = 240 \text{ fichas}$

Total

O comando pede o total de fichas da 15ª figura inteira, então somamos as duas partes: $\text{Total} = \text{superior} + \text{inferior} = 120 + 240 = 360$

São necessárias $360$ fichas, o que corresponde à alternativa E.