Questão 178 do ENEM 2017 — Matemática

A questão nos apresenta uma relação entre a quantidade de jogadores em um torneio e o número total de partidas realizadas. Nosso objetivo é descobrir quantas partidas ocorrerão caso o torneio tenha $8$ jogadores.

Podemos resolver esse problema de duas maneiras: observando o padrão numérico da tabela ou utilizando conceitos de Análise Combinatória.

Analisando o padrão da sequência

Vamos observar como o número de partidas cresce à medida que adicionamos mais jogadores:

• De $2$ para $3$ jogadores: o número de partidas aumenta em $2$ ($3 - 1 = 2$).
• De $3$ para $4$ jogadores: o número de partidas aumenta em $3$ ($6 - 3 = 3$).
• De $4$ para $5$ jogadores: o número de partidas aumenta em $4$ ($10 - 6 = 4$).
• De $5$ para $6$ jogadores: o número de partidas aumenta em $5$ ($15 - 10 = 5$).
• De $6$ para $7$ jogadores: o número de partidas aumenta em $6$ ($21 - 15 = 6$).

A lógica por trás desse padrão é simples: quando um novo jogador entra no torneio, ele precisa jogar contra todos os jogadores que já estavam lá. Assim, o $8^{\circ}$ jogador precisará enfrentar os $7$ jogadores anteriores.

Portanto, para encontrar o número de partidas com $8$ jogadores, basta somar $7$ ao número de partidas que ocorrem com $7$ jogadores: $21 + 7 = 28$

Utilizando Análise Combinatória

Outra forma de pensar é que cada partida é formada por uma dupla de jogadores. Como a ordem em que escolhemos os dois jogadores não importa (o jogador A jogar contra o B é o mesmo que o B jogar contra o A), trata-se de um problema de Combinação Simples.

A fórmula para calcular o número de combinações de $n$ elementos tomados $2$ a $2$ é: $C_{n,2} = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n \times (n - 1)}{2}$

Substituindo $n = 8$ (quantidade de jogadores), temos: $C_{8,2} = \frac{8 \times (8 - 1)}{2}$ $C_{8,2} = \frac{8 \times 7}{2}$ $C_{8,2} = \frac{56}{2} = 28$

Ambos os raciocínios nos levam ao mesmo resultado. Com $8$ jogadores, serão realizadas $28$ partidas.