Questão 169 do ENEM 2013 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos entender como funciona a probabilidade em jogos de loteria. A chance de ganhar o prêmio máximo está diretamente ligada à quantidade de apostas simples (cartelas com $6$ números) que cada jogador efetua.

Quando um apostador escolhe marcar mais de $6$ números em uma única cartela, ele está, na verdade, fazendo múltiplas apostas simples de uma só vez. A quantidade de apostas simples dentro de uma cartela com $n$ números é dada pela combinação de $n$ elementos tomados $6$ a $6$, ou seja, calculamos de quantas formas diferentes podemos escolher $6$ números dentre os $n$ marcados.

Calculando as apostas simples por cartela

Vamos calcular a quantidade de combinações de $6$ números para cada tipo de cartela usando a fórmula da combinação $C_{n, p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$:

• Cartela com 6 números: $C_{6, 6} = 1 \text{ aposta simples}$

• Cartela com 7 números: $C_{7, 6} = \frac{7!}{6! \cdot 1!} = 7 \text{ apostas simples}$

• Cartela com 8 números: $C_{8, 6} = \frac{8!}{6! \cdot 2!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28 \text{ apostas simples}$

• Cartela com 9 números: $C_{9, 6} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84 \text{ apostas simples}$

• Cartela com 10 números: $C_{10, 6} = \frac{10!}{6! \cdot 4!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210 \text{ apostas simples}$

Analisando as opções de cada apostador

Agora que sabemos quantas apostas simples cada tipo de cartela representa, podemos calcular o total de apostas simples que cada pessoa fez com seus R$ 500,00:

• Arthur: $250$ cartelas de $6$ números. $\text{Total} = 250 \cdot 1 = 250 \text{ apostas}$

• Bruno: $41$ cartelas de $7$ números e $4$ cartelas de $6$ números. $\text{Total} = (41 \cdot 7) + (4 \cdot 1) = 287 + 4 = 291 \text{ apostas}$

• Caio: $12$ cartelas de $8$ números e $10$ cartelas de $6$ números. $\text{Total} = (12 \cdot 28) + (10 \cdot 1) = 336 + 10 = 346 \text{ apostas}$

• Douglas: $4$ cartelas de $9$ números. $\text{Total} = 4 \cdot 84 = 336 \text{ apostas}$

• Eduardo: $2$ cartelas de $10$ números. $\text{Total} = 2 \cdot 210 = 420 \text{ apostas}$

Conclusão

Comparando os totais, vemos que Eduardo tem a maior probabilidade de ser premiado (com $420$ apostas simples), seguido por Caio (com $346$ apostas simples). Portanto, os dois apostadores com as maiores chances de ganhar são Caio e Eduardo.