Questão 177 do ENEM 2014 — Matemática

Entendendo o reservatório

O reservatório é formado por dois cubos: um cubo maior na base e um cubo menor apoiado no topo, conforme a figura. A informação-chave é que a aresta do cubo maior é o dobro da aresta do cubo menor. Uma torneira de vazão constante levou $8$ minutos para encher metade do cubo maior, e queremos saber quanto tempo falta para completar todo o reservatório.

Calculando os volumes

Chamando de $a$ a aresta do cubo menor, seu volume é: $V_{\text{menor}} = a^3$

A aresta do cubo maior é $2a$, então seu volume é: $V_{\text{maior}} = (2a)^3 = 8a^3$

Repare que dobrar a aresta não dobra o volume: como o volume depende do cubo da aresta, ele fica $2^3 = 8$ vezes maior. Esse é o detalhe que derruba quem multiplica por $2$.

A metade do cubo maior já preenchida em $8$ minutos vale: $V_{\text{preenchido}} = \frac{8a^3}{2} = 4a^3$

Volume que ainda falta

Para encher tudo, a torneira precisa completar a outra metade do cubo maior e encher todo o cubo menor: $V_{\text{restante}} = 4a^3 + a^3 = 5a^3$

Tempo necessário

Como a vazão é constante, o tempo é proporcional ao volume. Se $4a^3$ leva $8$ minutos, montamos a regra de três: $\frac{4a^3}{8} = \frac{5a^3}{t}$

Simplificando (dividindo por $a^3$): $\frac{4}{8} = \frac{5}{t} \implies 4t = 40 \implies t = 10\text{ minutos}$

Portanto, a torneira levará $10$ minutos para encher o restante do depósito, o que corresponde à alternativa B.