Questão 152 do ENEM 2025 — Matemática

ENEM 2025Matemática1ª aplicação

Quatro candidatos se apresentaram para realizar a prova de um concurso. Antes de iniciar a prova, os celulares dos quatro candidatos foram recolhidos pelo aplicador, que os guardou, cada um, dentro de um envelope preto. Ao término da prova, o aplicador devolveu os quatro envelopes com os celulares aos quatro candidatos, de maneira aleatória, já que não havia feito a identificação dos envelopes.

A probabilidade de que todos os candidatos tenham recebido de volta os envelopes com os seus respectivos celulares é
A
$\frac{1}{2}$
B
$\frac{1}{10}$
C
$\frac{1}{16}$
$\frac{1}{24}$
Resposta correta
E
$\frac{1}{256}$
Gabarito oficial: alternativa D

Resolução comentada

Para resolver essa questão, precisamos calcular a probabilidade de um evento específico ocorrer. A probabilidade de um evento é dada pela razão entre o número de casos favoráveis (o que queremos que aconteça) e o número total de casos possíveis (tudo o que pode acontecer).

Primeiro, vamos determinar o número total de casos possíveis. Temos 44 celulares que serão distribuídos aleatoriamente para 44 candidatos. O primeiro candidato pode receber qualquer um dos 44 celulares. O segundo candidato pode receber qualquer um dos 33 celulares restantes. O terceiro candidato pode receber qualquer um dos 22 celulares restantes, e o último candidato receberá o celular que sobrar.

Matematicamente, isso corresponde a uma permutação simples de 44 elementos, que calculamos usando o fatorial de 44 (4!4!):

4!=4×3×2×1=244! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24

Portanto, existem 2424 maneiras diferentes de devolver os celulares aos candidatos.

Agora, vamos analisar o número de casos favoráveis. O problema pede a probabilidade de que todos os candidatos recebam de volta os seus respectivos celulares. Existe apenas 11 única configuração em que isso acontece: o candidato 1 recebe o celular 1, o candidato 2 recebe o celular 2, o candidato 3 recebe o celular 3 e o candidato 4 recebe o celular 4.

Assim, temos:

  • Casos favoráveis: 11
  • Casos possíveis: 2424

A probabilidade PP procurada é a razão entre esses dois valores:

P=124P = \frac{1}{24}

Logo, a probabilidade de que todos os candidatos recebam seus próprios celulares é de 124\frac{1}{24}.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2025 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.