Questão 149 do ENEM 2010 — Matemática

A questão nos pede para encontrar uma expressão matemática que relacione a quantidade de quadrados ($Q$) e a quantidade de canudos ($C$) de cada figura. Observação: o enunciado original traz um pequeno erro de digitação ao perguntar pela "quantidade de quadrados", mas pelas alternativas e pelo contexto, fica claro que o objetivo é encontrar a fórmula para o número de canudos ($C$) em função do número de quadrados ($Q$).

Analisando as Figuras

Vamos observar atentamente cada uma das figuras e contar quantos quadrados e canudos temos em cada caso:

• Figura I: Temos $1$ quadrado ($Q = 1$). Para formá-lo, utilizamos $4$ canudos ($C = 4$).
• Figura II: Temos $2$ quadrados ($Q = 2$). Contando os canudos, vemos que são $7$ no total ($C = 7$).
• Figura III: Temos $3$ quadrados ($Q = 3$). O total de canudos aqui é $10$ ($C = 10$).

Podemos organizar esses dados para visualizar melhor:

• Para $Q = 1 \rightarrow C = 4$
• Para $Q = 2 \rightarrow C = 7$
• Para $Q = 3 \rightarrow C = 10$

Identificando o Padrão

Note que, ao passar da Figura I para a Figura II, não precisamos de mais $4$ canudos inteiros. Adicionamos apenas $3$ canudos para formar o novo quadrado. Isso acontece porque o lado direito do primeiro quadrado é reaproveitado como o lado esquerdo do segundo quadrado. O mesmo ocorre da Figura II para a Figura III: adicionamos mais $3$ canudos.

Como a quantidade de canudos aumenta de forma constante ($+3$ a cada novo quadrado), estamos lidando com um padrão linear, que se comporta como uma Progressão Aritmética (P.A.) de razão $r = 3$.

Podemos pensar na construção da seguinte forma: começamos com $1$ canudo vertical à esquerda e, para cada quadrado que queremos formar, adicionamos um conjunto de $3$ canudos (em formato de "C" invertido). Assim, a quantidade total de canudos $C$ será $3$ vezes o número de quadrados $Q$, mais aquele $1$ canudo inicial que serviu de base. Matematicamente, isso se traduz na expressão: $C = 3Q + 1$

Testando as Alternativas

Outra maneira muito eficiente de resolver questões desse tipo no ENEM é testar os valores que encontramos nas alternativas fornecidas.

Vamos testar o caso da Figura II, onde sabemos que $Q = 2$ e precisamos que o resultado seja $C = 7$:

• A) $C = 4(2) = 8$ (Incorreto)
• B) $C = 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7$ (Correto!)
• C) $C = 4(2) + 1 = 8 + 1 = 9$ (Incorreto)
• D) $C = 2 + 3 = 5$ (Incorreto)
• E) $C = 4(2) - 2 = 8 - 2 = 6$ (Incorreto)

A única alternativa que funciona para a Figura II (e que também funcionaria se testássemos as outras figuras) é a alternativa B.

Portanto, a expressão que fornece a quantidade correta de canudos em função do número de quadrados é $C = 3Q + 1$.