Questão 147 do ENEM 2015 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos determinar de quantas maneiras o jurado B pode distribuir suas notas no quesito Bateria de forma que a Escola II seja a campeã.

Análise da Situação Inicial

Primeiro, vamos observar a pontuação acumulada de cada escola antes da última nota (a do jurado B no quesito Bateria). Somando as notas já recebidas por cada uma, temos:

• Escola I: $6 + 7 + 8 + 8 + 9 + 9 + 8 = 55$ pontos
• Escola II: $9 + 8 + 10 + 9 + 10 + 10 + 10 = 66$ pontos
• Escola III: $8 + 8 + 7 + 8 + 6 + 7 + 6 = 50$ pontos
• Escola IV: $9 + 10 + 10 + 10 + 9 + 10 + 10 = 68$ pontos
• Escola V: $8 + 7 + 9 + 9 + 8 + 6 + 8 = 54$ pontos

Sabemos que as notas permitidas variam de $6$ a $10$. Vamos analisar se todas as escolas têm chance de vencer.

A Escola II já possui $66$ pontos. Mesmo que ela receba a nota mínima ($6$), terminará com $72$ pontos. Por outro lado, se as escolas I, III e V receberem a nota máxima ($10$), terminarão com $65$, $60$ e $64$ pontos, respectivamente. Como nenhuma delas consegue alcançar os $72$ pontos mínimos da Escola II, elas estão matematicamente fora da disputa pelo título.

Isso significa que as notas dadas às escolas I, III e V não interferem em quem será o campeão. Para cada uma dessas três escolas, o jurado B pode escolher qualquer uma das $5$ notas possíveis ($6, 7, 8, 9$ ou $10$). Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: $5 \times 5 \times 5 = 125 \text{ combinações}$

O Critério de Desempate

A disputa real pelo título está apenas entre a Escola II (com $66$ pontos) e a Escola IV (com $68$ pontos).

Antes de compararmos as notas que elas podem receber, precisamos verificar o que acontece em caso de empate na pontuação final. O critério de desempate estabelecido é a maior soma de notas no quesito "Enredo e Harmonia" (o terceiro quesito avaliado, correspondente à 5ª e 6ª colunas de notas).

Vamos somar as notas dos jurados A e B nesse quesito:

• Escola II: $10 + 10 = 20$ pontos
• Escola IV: $9 + 10 = 19$ pontos

Como a Escola II tem uma pontuação maior no critério de desempate, ela será a campeã caso termine com a mesma pontuação total que a Escola IV.

A Disputa pela Liderança

Seja $n_2$ a nota que a Escola II vai receber e $n_4$ a nota da Escola IV. Para que a Escola II seja campeã, sua pontuação final deve ser maior ou igual à da Escola IV (já que ela vence no desempate): $66 + n_2 \geq 68 + n_4$ $n_2 - n_4 \geq 2$

Agora, vamos testar os valores possíveis para $n_2$ (lembrando que as notas vão de $6$ a $10$) e ver quantas opções restam para $n_4$:

• Se $n_2 = 10$: a diferença exige que $10 - n_4 \geq 2 \implies n_4 \leq 8$. Logo, $n_4$ pode ser $6, 7$ ou $8$ ($3$ opções).
• Se $n_2 = 9$: a diferença exige que $9 - n_4 \geq 2 \implies n_4 \leq 7$. Logo, $n_4$ pode ser $6$ ou $7$ ($2$ opções).
• Se $n_2 = 8$: a diferença exige que $8 - n_4 \geq 2 \implies n_4 \leq 6$. Logo, $n_4$ só pode ser $6$ ($1$ opção).
• Se $n_2 = 7$ ou $n_2 = 6$: não há como $n_4$ ser menor ou igual a $5$, pois a nota mínima é $6$ ($0$ opções).

Somando as possibilidades, temos $3 + 2 + 1 = 6$ pares de notas $(n_2, n_4)$ que garantem o título para a Escola II.

Calculando as Combinações Totais

Para encontrar o número total de configurações distintas de notas que o jurado B pode dar a todas as cinco escolas, multiplicamos as combinações que garantem a vitória da Escola II sobre a IV pelas combinações livres das outras três escolas: $\text{Total} = 6 \times 125 = 750 \text{ configurações}$

Portanto, existem $750$ maneiras diferentes de o jurado B atribuir as notas de modo que a Escola II saia campeã.