Questão 152 do ENEM 2010 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender o que a função $r(t)$ representa e como encontrar seus valores máximo e mínimo. A função dada é:

$r(t) = \frac{5865}{1 + 0.15 \times \cos(0.06t)}$

O enunciado nos diz que o cientista precisa calcular a soma $S$ dos valores de $r$ no apogeu e no perigeu. Em termos astronômicos, o apogeu é o ponto de maior afastamento (distância máxima) e o perigeu é o ponto de maior aproximação (distância mínima) do satélite em relação ao centro da Terra.

Matematicamente, precisamos encontrar o valor máximo e o valor mínimo da função $r(t)$. Observe que a única parte variável na equação é a função cosseno, $\cos(0.06t)$. Sabemos da trigonometria que o valor do cosseno de qualquer ângulo sempre varia no intervalo de $-1$ a $1$. Ou seja:

$-1 \leq \cos(0.06t) \leq 1$

Como a expressão do cosseno está no denominador da fração, o valor de $r(t)$ será máximo (apogeu) quando o denominador for o menor possível. Isso ocorre quando $\cos(0.06t) = -1$. Vamos calcular esse valor:

$r_{\text{apogeu}} = \frac{5865}{1 + 0.15 \times (-1)}$ $r_{\text{apogeu}} = \frac{5865}{1 - 0.15}$ $r_{\text{apogeu}} = \frac{5865}{0.85}$

Realizando a divisão: $r_{\text{apogeu}} = 6900 \text{ km}$

Por outro lado, o valor de $r(t)$ será mínimo (perigeu) quando o denominador for o maior possível. Isso acontece quando $\cos(0.06t) = 1$. Calculando esse valor:

$r_{\text{perigeu}} = \frac{5865}{1 + 0.15 \times (1)}$ $r_{\text{perigeu}} = \frac{5865}{1 + 0.15}$ $r_{\text{perigeu}} = \frac{5865}{1.15}$

Realizando a divisão: $r_{\text{perigeu}} = 5100 \text{ km}$

O problema pede a soma $S$ desses dois valores:

$S = r_{\text{apogeu}} + r_{\text{perigeu}}$ $S = 6900 + 5100$ $S = 12000 \text{ km}$

Portanto, o cientista concluirá que a soma $S$ atinge o valor de $12000 \text{ km}$.